Stochastyka - Polski Serwis Naukowy

Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.
Ciśnienie tętnicze (ang. blood pressure – BP) – ciśnienie wywierane przez krew na ścianki tętnic, przy czym rozumie się pod tą nazwą ciśnienie w największych tętnicach, np. w tętnicy w ramieniu. Jest ono wyższe niż ciśnienie krwi wywierane na ścianki żył.

W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.
Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Definicja

Niech $T$ będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów, $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz $(E, \mathfrak{M})$ będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych $X=(X_t)_{t\in T}$ ,

to znaczy rodzinę funkcji $\mathcal{A}/\mathfrak{M}$ -mierzalnych nazywamy procesem stochastycznym. Przestrzeń $(E, \mathfrak{M})$ nazywamy przestrzenią fazową albo przestrzenią stanów procesu $X$ .

Często za zbiór $T$ przyjmuje się przedział $[0,\infty)$ lub zbiór liczb naturalnych, za $E$ zbiór liczb rzeczywistych, a za $\mathfrak{M}$ rodzinę $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).
Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami (zob. łańcuch Markowa).

Związek z wielowymiarową zmienną losową

Oczywiście matematyczna definicja funkcji dopuszcza przypadek "funkcja ze zbioru {1,...,n} w R jest wektorem w R", więc wielowymiarowa zmienna losowa ma tę samą definicję, co proces stochastyczny. W praktyce jednak odróżnia się te terminy, rezerwując nazwę "proces stochastyczny" dla modeli zjawisk rozciągających się w czasie, gdzie każdy z elementów wektora opisuje jedną chwilę lub przedział czasowy. O wielowymiarowej zmiennej losowej mówi się natomiast częściej wtedy, gdy wszystkie elementy wektora opisują różne parametry w tej samej chwili czasowej.

Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.
Dźwięk – wrażenie słuchowe spowodowane falą akustyczną rozchodzącą się w ośrodku sprężystym (ciele stałym, płynie, gazie). Częstotliwości fal, które są słyszalne dla człowieka, zawarte są w paśmie między wartościami granicznymi od ok. 16-20 Hz do ok. 16-20 kHz.

Interesujące przypadki specjalne

procesy Bernoulliego

proces Wienera

procesy Markowa to takie, w których przyszłość jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.

procesy Poissona

procesy stacjonarne

procesy homogeniczne: proces, gdzie dziedzina posiada pewną symetrię i skończenie-wymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię. Specjalny przypadek obejmuje proces stacjonarny.

procesy o przyrostach niezależnych: procesy, gdzie dziedzina jest przynajmniej częściowo uporządkowana i jeśli x1 <...< xn, wszystkie zmienne f(xk+1) − f(xk) są niezależne

procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S

procesy gaussowskie: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym

martyngały

procesy Galtona-Watsona

proces gałązkowy

ruchy Browna

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.
Magnetowid – urządzenie elektroniczne służące do zapisu i odtwarzania obrazu (wizji) i dźwięku (fonii) na specjalnych kasetach. Ze względu na budowę rozróżnia się urządzenia studyjne oraz urządzenia domowego użytku. Magnetowidy, jako urządzenia domowego użytku wyposażone są w odbiornik sygnału telewizyjnego (ang. tuner). Stanowi to rozwinięcie wcześniejszego rozwiązania jakim był odtwarzacz wideo oraz urządzenia przejściowego – odtwarzacza wideo z funkcją nagrywania. Integracja z tunerem skutkowała wprowadzeniem kolejnej funkcji: programator (ang. timer), pozwalającej użytkownikowi automatycznie rejestrować programy nadawane przez telewizję; urządzenia bez tunera telewizyjnego nazywane są potocznie "odtwarzaczami" (czasem "z możliwością nagrywania"). Zasada ta nie dotyczyła urządzeń studyjnych, gdzie nie wymagany był zintegrowany odbiornik sygnału telewizyjnego.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)