Struktura matematyczna - Polski Serwis Naukowy

Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

Definicja

Na strukturę matematyczną $\scriptstyle \mathbf M$ składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka $\scriptstyle \mathbf L,$ w skład którego mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione; zob. symbol funkcyjny). Dlatego każdą strukturę $\scriptstyle \mathbf M$ należy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka $\scriptstyle \mathbf L,$ mówi się wtedy, że $\scriptstyle \mathbf M$ jest modelem (strukturą) dla języka $\scriptstyle \mathbf L.$

Kurt Gödel (1906-1978) – austriacki logik i matematyk; autor ważnych twierdzeń z zakresu logiki matematycznej, współautor jednej z aksjomatyk teorii mnogości. Do najbardziej znanych osiągnięć matematycznych Gödla należą twierdzenia o niezupełności i niesprzeczności bogatszych teorii dedukcyjnych (to znaczy takich, które obejmują arytmetykę liczb naturalnych).

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Niekiedy rozróżnia się znaczenia terminów „model” i „struktura matematyczna” („system semantyczny”). Słowo „model” oznacza wtedy tylko uniwersum.

Klasyfikacja

W teorii struktur wyróżnia się m.in.

struktury algebraiczne, tzn. struktury dla języka zawierającego tylko symbole funkcji, czy stałych, ale nie ogólnych relacji (nie oznacza to braku relacji w modelu – każda funkcja jest relacją). Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.

struktury porządkowe tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.

struktury topologiczne tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.

struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.

Modele języków pierwszego rzędu

Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ .

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Interpretacją lub modelem języka ${\mathcal L}(\tau)$ nazywa się dowolną parę uporządkowaną $\langle U,\Delta\rangle$ , gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:

dla dowolnej stałej indywiduowej ai, ∆(ai) ∈ U,

dla każdego predykatu n-argumentowego $P\in \tau$ , $\Delta(P)$ jest n-członową relacją w zbiorze U,

dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego $F$ , $\Delta(F)$ jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.

Własności i zastosowania

Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe – jest to tzw. teoria tego modelu. Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

W logice matematycznej przez język rozumie się pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Alfred Tarski (ur. 14 stycznia 1901 w Warszawie, zm. 26 października 1983 w Berkeley, Kalifornia, USA) – polski matematyk i filozof pracujący przez wiele lat w Stanach Zjednoczonych.

Zobacz też

model Herbranda