Suma zbiorów - Polski Serwis Naukowy

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Definicje

Suma zbiorów A i B

Sumą zbiorów nazywa się zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów $A$ i $B$ jest oznaczana symbolem $A\cup B$ . Tak więc: $A\cup B=\{x\colon x\in A\vee x\in B\}$

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ to

Teoria mnogości (również: teoria zbiorów) – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (skr. ZF) – powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., który został później uzupełniony przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o aksjomat wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

$\bigcup {\mathfrak A} = \{x:(\exists A \in \mathfrak A)(x\in A)\}$

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ definiujemy $\bigcup_{i\in I} A_i = \{a : (\exists i \in I)(a\in A_i)\}.$

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np $\bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup \{ A_i: i\in I\}$ , a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

Przykłady

Niech ${\mathbb Q}$ będzie zbiorem liczb wymiernych a ${\mathbb I}{\mathbb Q}$ niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}$ jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn. ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}={\mathbb R}$ .

$(0,2)\cup [1,3]=(0,3]$ ,

$\bigcup\limits_{n\in {\mathbb N}} (1,2-\frac{1}{n+1})=(1,2)$

Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku $[\sqrt{2},\sqrt{5})$ . Wówczas

$\bigcup {\mathfrak A}=(\sqrt{2},\sqrt{5})$ .

Aksjomat sumy

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$ należy rozumieć jako opisujący zbiór $A\cup B$ przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór $U$ do którego należą dokładnie te obiekty $x$ , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny ${\mathfrak A}$ . Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Zasada włączeń i wyłączeń - reguła kombinatoryczna, pozwalająca na określenie liczby elementów skończonej sumy mnogościowej skończonych zbiorów. Autorstwo zasady przypisywane jest zazwyczaj Abrahamowi de Moivre, chociaż bywa nazywana od nazwisk matematyków, Jamesa Josepha Sylvestera oraz Henriego Poincaré.

$(\forall {\mathfrak A})(\exist U)(\forall x)\Big(x\in U\ \Leftrightarrow\ (\exist A)(x\in A\wedge A\in {\mathfrak A})\Big)$ .

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A,B,C$ zachodzą następujące równości:

$\bigcup\varnothing=\varnothing$ ;

$\bigcup \{ A\} = A =A\cup A$ ;

$\bigcup \{ A, B\} = A \cup B$ ;

$\varnothing\cup A=A$ ;

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (łączność);

$A \cup B = B \cup A$ (przemienność);

$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$ (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);

$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

$A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cup B = B$ .

Niech $U$ będzie niepustym zbiorem a ${\mathcal P}({\mathbf U})$ niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $U$ . Wówczas

$({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\varnothing,{\mathbf U})$ jest zupełną algebrą Boole'a.

Za pomocą sumy i różnicy symetrycznej można wyrazić iloczyn i różnicę zbiorów:

$A \cap B = (A \cup B) \dot- (A \dot- B)$ oraz $A \setminus B = A \dot- (A \cap B)$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i\colon i\in I\}$ , $\{B_i\colon i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k} \colon j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech $D$ będzie zbiorem. Wówczas

Różnica symetryczna zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B oraz te, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

$\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)=\bigcup\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcup\limits_{i\in I} B_i$

$\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcup\limits_{i\in I} B_i$

$D\cap \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$

$D\cup \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$

$D\setminus \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} D\setminus A_i$

$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcup\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcup\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną zbiorów. Wówczas $\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\}.$

Na przykład niech $\mathfrak{A} = \{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\}$ , gdzie $\mathcal{A}_1 = \{A_1, A_2\}$ oraz $\mathcal{A}_2 = \{A_3, A_4\}$ . Wtedy z jednej strony:

$\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{A_1, A_2, A_3, A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$ ,

a z drugiej

$\bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\} = \bigcup \{A_1 \cup A_2, A_3 \cup A_4\} = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$ .

Suma a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$ , dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru $X$ , oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru $Y$ , prawdziwe są następujące dwa stwierdzenia: