Suriekcja - Polski Serwis Naukowy

W suriekcji każdemu elementowi przeciwdziedziny odpowiada co najmniej jeden element dziedziny

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Warunek Höldera – warunek dotyczący funkcji pojawiający się w założeniach wielu twierdzeń z zakresu analizy matematycznej, jedno z kryteriów jednostajnej ciągłości funkcji.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Niech będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że spełnia warunek Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała L > 0, że dla dowolnych

Funkcja „na” a. suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.

Definicja

Niech $X$ oraz $Y$ będą dowolnymi zbiorami. Funkcja $f\colon X \to Y$ odwzorowuje zbiór $X$ na zbiór $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $Y$ jest wartością funkcji w pewnym punkcie, $\forall{y \in Y}\; \exists{x \in X}\; f(x) = y,$

co oznacza się często jako $f\colon X \xrightarrow{na} Y$ lub $f\colon X \xrightarrow[na]\ Y.$

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, $f(X) = Y,$ inaczej $\operatorname{Im} f = Y.$

Uwaga

Należy pamiętać, że to wybór przeciwdziedziny decyduje o suriektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom: $f_1\colon \mathbb R \to \mathbb R$ określonej wzorem $f_1(x) = x^2$ oraz $f_2\colon \mathbb R \to [0, \infty)$ określonej wzorem $f_2(x) = x^2$ .

Tylko druga z powyższych funkcji jest suriekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest suriekcją, jeśli jako zbiór $Y$ przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady

Niech $x \in \mathbb R$ będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

$f\colon x \mapsto \tfrac{1}{x}$ dla $x \ne 0$ na $\mathbb R \setminus \{0\}$ ,

$f\colon x \mapsto x^a$ dla $a \in \{2n+1\colon n \in \mathbb N\}$ na $\mathbb R$ ,

$f\colon x \mapsto \ln x$ dla $\ x > 0$ na $\mathbb R$ ,

$f\colon x \mapsto \operatorname{tg}\;x$ dla $x \in \bigcup\{(-\tfrac{\pi}{2} + k\pi, \tfrac{\pi}{2} + k\pi) \colon k \in \mathbb Z \}$ na $\mathbb R$ ,

$f\colon \mathbb R \overset\underset\mathrm{na}\ \to \mathbb Z, \quad f(x) = \lceil x \rceil$ ,

$f\colon \mathbb R \overset\underset\mathrm{na}\ \to \{1\}, \quad f(x) = 1$ .

Pisownia

Słowo suriekcja tradycyjnie bywa pisane przez j. Zasady pisowni polskiej nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu można uznawać pisownię surjekcja i injekcja za błędną, a za poprawne wyłącznie formy suriekcja oraz iniekcja, niezależnie od wymowy i obcego pochodzenia tych wyrazów. Z drugiej strony językoznawcy często uznają uzus obowiązujący wśród specjalistów posługujących się tym pojęciem. Oni zaś stosują obydwie formy, zarówno surjekcja, jak i suriekcja.

Zobacz też

funkcja "w"

funkcja różnowartościowa (iniekcja)

funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja)

epimorfizm

Przypisy

Bibliografia

Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1 : definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XI zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2001, s. 18. ISBN 83-85941-82-7.