Symetria środkowa - Polski Serwis Naukowy

Definicja

Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy, gdy.

Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – w szerszym znaczeniu funkcja przekształcająca zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w pewien inny zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej. W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana przy określaniu przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.

Środek symetrii figury geometrycznej

Figurę geometryczną F, która jest swoim obrazem w symetrii środkowej SP (SP(F) = F) nazywa się figurą geometryczną środkowo symetryczną (lub mówi się, że figura F ma środek symetrii). Punkt P jest środkiem symetrii figury F.

Figura geometryczna ograniczona ma co najwyżej jeden środek symetrii.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Własności

Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest jej środek.

Na płaszczyźnie symetrie środkowe pokrywają się z obrotami dokoła punktu o kąt półpełny.

Symetrie środkowe pokrywają się także z jednokładnościami o skali równej -1.

Symetria środkowa na płaszczyźnie jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w środku symetrii pod kątem prostym.

W przestrzeni, symetria środkowa jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych, których płaszczyzny przechodzą przez środek symetrii i są wzajemnie prostopadłe.

Każda symetria środkowa na płaszczyźnie jest izometrią parzystą, zaś w przestrzeni izometrią nieparzystą.

Symetria środkowa jest inwolucją tzn. jest identyczna z odwzorowaniem odwrotnym do niej.

Niezmienniki symetrii środkowej: kierunek wektora, długość wektora, orientacja płaszczyzny.

Przykłady

Obraz figury F w symetrii środkowej S o środku w punkcie O:
F1 = SO(F).

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Obraz figury F w symetrii środkowej S o środku w punkcie O

Zobacz też

symetria osiowa

symetria