Szereg - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots.$

Wyrazy szeregu często powstają w wyniku zastosowania pewnej reguły, takiej jak np. wzór, czy algorytm. W przeciwieństwie do sumowania do pełnego zrozumienia i manipulowania nimi szeregi wymagają narzędzi analizy matematycznej. Poza ich wszechobecnością w samej matematyce szeregi szeroko stosuje się w innych dyscyplinach ilościowych takich jak fizyka, czy informatyka; szczególnie ważne są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym trygonometryczne, na czele z szeregiem Fouriera, czy potęgowe (za pomocą których można przybliżać z dowolną dokładnością wiele funkcji).

Paradoksy Zenona z Elei – zbiór kilku paradoksów pochodzących od greckiego filozofa, Zenona z Elei. Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znaczenia czysto filozoficznego, paradoksy te mają też znaczenie matematyczne i fizyczne.
Ciąg geometryczny - co najmniej trójelementowy ciąg liczbowy skończony bądź nieskończony, w którym każdy wyraz począwszy od drugiego, jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej liczby różnej od zera, którą nazywa się ilorazem ciągu.

Definicja

Szeregi mogą składać się z elementów z dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych). Poniższa definicja podana będzie dla liczb rzeczywistych, lecz można ją uogólniać.

Dla danego nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych $(a_n)$ definiuje się $N$ -tą sumę częściową ciągu $(a_n)$ bądź sumą częściową szeregu wzorem $s_N = \sum_{n=0}^N a_n =a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_N.$

Szeregiem nazywa się ciąg $(s_N)$ sum częściowych. Formalnie szereg należy więc traktować jako parę uporządkowaną $\bigl((a_n), (s_N)\bigr)$ .

Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.
Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów a nawet w muzyce (kompresja mp3 i jpeg).

Sumą szeregu nazywa się liczbę $S = \lim_{N \rightarrow \infty }s_N$ , o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma − rozbieżnym.

Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się na jeden z następujących sposobów: $\sum_{n = 0}^\infty a_n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots.$

To które z tych pojęć jest odpowiednie wynika zwykle z kontekstu. Oddzielenie tych dwóch całkowicie różnych obiektów (ciągu i jego granicy) osiąga się niekiedy przez pominięcie granic (oznaczeń nad i pod symbolem sumy), np.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

$\sum_n a_n;$

symbol ten służy wtedy odnoszeniu się do szeregu formalnego, który może, lecz nie musi mieć określonej sumy.

Szeregiem, w zależności od autora, a czasem także od kontekstu, bywa też nazywana suma wszystkich elementów danego ciągu nieskończonego.

Niżej stosowany będzie również symbol $\sum a_n$ na oznaczenie obu rodzajów obiektów, o ile nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)