Szybka transformata Fouriera - Polski Serwis Naukowy

Szybka transformacja Fouriera (ang. FFT od Fast Fourier Transform) to algorytm liczenia dyskretnej transformaty Fouriera oraz transformaty do niej odwrotnej.

Czasem używana jest też forma szybka transformata Fouriera w odniesieniu do tej metody. Ściśle jednak transformacja jest przekształceniem, a transformata wynikiem tego przekształcenia.

Niech x0, ...., xN-1 będą liczbami zespolonymi, wtedy dyskretna transformata Fouriera jest określona wzorem

Sygnał to abstrakcyjny model dowolnej mierzalnej wielkości zmieniającej się w czasie, generowanej przez zjawiska fizyczne lub systemy. Tak jak wszystkie zjawiska może być opisany za pomocą aparatu matematycznego, np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu. Ponieważ sygnał niesie informację o naturze badanych zjawisk lub systemów, w niektórych dziedzinach nauk jest on traktowany jak nośnik informacji. Sygnał oznacza zatem przepływ strumienia informacji, przy czym przepływ może odbywać się w jednym lub w wielu wymiarach.

Kompresja danych (ang. data compression) – polega na zmianie sposobu zapisu informacji tak, aby zmniejszyć redundancję i tym samym objętość zbioru. Innymi słowy chodzi o wyrażenie tego samego zestawu informacji, lecz za pomocą mniejszej liczby bitów.

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-{2\pi i \over N} nk } \qquad k = 0,\dots,N-1.$

Obliczanie tych sum za pomocą powyższego wzoru zajęłoby O(N) operacji.

Algorytmy (jak algorytm Cooleya-Tukeya) obliczające szybką transformację Fouriera bazują na metodzie dziel i zwyciężaj rekurencyjnie dzieląc transformatę wielkości N = N1N2 na transformaty wielkości N1 i N2 z wykorzystaniem O(N) operacji mnożenia.

Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Jest to bardzo efektywna operacja, jednak wektor próbek wejściowych (spróbkowany sygnał) musi mieć długość $N=2^k$ , gdzie $k$ to pewna liczba naturalna. Wynik otrzymuje się na drodze schematycznych przekształceń, opartych o tak zwane struktury motylkowe.

MP3 ((ang.) MPEG-1/MPEG-2 Audio Layer 3) – algorytm kompresji stratnej dźwięku, przetworzonego uprzednio na sygnał cyfrowy. Popularnie zwany formatem MP3 lub standardem MP3. Jest zdefiniowany przez IETF w dokumencie RFC 5219.

Próbkowanie (dyskretyzacja, kwantowanie w czasie) - proces tworzenia sygnału dyskretnego, reprezentującego sygnał ciągły za pomocą ciągu wartości nazywanych próbkami. Zwykle jest jednym z etapów przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy.

Złożoność obliczeniowa Szybkiej transformacji Fouriera wynosi $O(N \log_2 N)$ , zamiast $O(N^2)$ algorytmu wynikającego wprost ze wzoru określającego dyskretną transformatę Fouriera. Dzięki istnieniu takiego algorytmu praktycznie możliwe stało się cyfrowe przetwarzanie sygnałów (DSP), a także zastosowanie dyskretnych transformat kosinusowych (DCT) (JPEG, MP3 itd.) do kompresji.

Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. Discrete Fourier Transform) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

JPEG (wym. dżej-peg lub jot-peg) – format kompresji statycznych obrazów rastrowych, przeznaczony głównie do stratnego zapisu obrazów naturalnych (pejzaży, portretów itp.), charakteryzujących się płynnymi przejściami barw oraz brakiem lub małą ilością ostrych krawędzi i drobnych detali.

Zobacz też

FFTW

Transformacja Fouriera