Tłumienie - Polski Serwis Naukowy

Wykładniczy zanik drgań słabo tłumionych rozchodzących się w strunie.

Tłumienie (gaśnięcie) drgań – zmniejszanie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii.

Tłumik - urządzenie służące do częściowej lub całkowitej eliminacji drgań, fali akustycznej, hałasu lub pewnych częstotliwości w układach elektronicznych.
Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Wykres ruchu dla ciała początkowo spoczywającego i wychylonego z położenia równowagi dla wybranych współczynników tłumienia.

Równanie ruchu

Mechaniczne drgania tłumione można przedstawić jako swobodny oscylator harmoniczny, na który działa siła proporcjonalna do prędkości: $F=-bv=-b\frac{dx}{dt}$

nazywana siłą tłumiącą, gdzie b jest współczynnikiem proporcjonalności.

Transmisja – proces przesyłania dowolnej wiadomości lub ogólnie danych między nadawcą (nadajnikiem) a odbiorcą (odbiornikiem) zapisanej określonym, zrozumiałym dla obu stron kodem i po określonej drodze (tzw. medium transmisyjne).
Czas – skalarna wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.

Równanie ruchu można zapisać w postaci: $m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=0$

Jest to Równanie różniczkowe zwyczajne, II rzędu, będące dynamicznym równaniem ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Przyjmując oznaczenia: $\beta = \frac{b}{2m}$ – współczynnik tłumienia; $\omega_{o} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ – częstość kołowa oscylatora nietłumionego; $\omega = \sqrt{\omega_{o}^2 - \beta^2}$ – częstość drgań tłumionych;

Powyższe równanie można zapisać w postaci: $\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\beta\frac{dx(t)}{dt}+\omega_{o}^{2}x=0$

Przyjmując rozwiązania postaci:

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$x=Ae^{\gamma t}\,$

gdzie A - amplituda drgań, γ będąc liczbą zespoloną spełnia równanie kwadratowe: $\gamma ^{2}+2\beta \gamma + \omega_{o}^{2}=0 \,$

które ma rozwiązania: $\gamma_+=-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}$ $\gamma_-=-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}$

Rozwiązywanie równania ma dwa pierwiastki γ+ and γ−. Równanie ruchu można przedstawić jako sumę rozwiązań $x(t) = Ae^{\gamma_+ t} + Be^{\gamma_- t} \, ,$

gdzie A i B są stałymi określonymi przez warunki początkowe układu: $A = x(0)+\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}$ $B = -\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}$

gdzie

Miejsce zerowe – w matematyce argument funkcji, dla którego przyjmuje ona wartość zerową. Czasem miejsce zerowe nazywa się w skrócie zerem funkcji bądź jej pierwiastkiem.
Pulsacja (częstość kołowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

$x(0) \,$ - wychylenie początkowe,

$v(0) \,$ - prędkość początkowa.

Składniki funkcji x(t) są funkcjami wykładniczymi, są one oscylacyjne gdy ich wykładniki zawierają części urojone, które zachodzi gdy $\beta^{2}-\omega_{o}^{2}$ jest mniejsze od zera. Podział ten odpowiada opisanym niżej sytuacjom fizycznym

Współczynnik tłumienia

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ζ (zeta), określony jako:

Oscylator harmoniczny - model teoretyczny w naukach ścisłych opisujący układ w parabolicznym potencjale — potencjał oscylatora harmonicznego, bądź krócej potencjał harmoniczny, czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości V∼r, gdzie r jest odległością w N-wymiarowej przestrzeni, N zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę modelowanych zjawisk wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy oscylator harmoniczny.
Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy drugą zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

$\zeta = \frac \beta {\omega_0} = \frac b {2 \sqrt{mk}}$

Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową.

Wartość tłumienia ζ określa zachowanie systemu. Tłumiony oscylator harmoniczny może być:

Silnie tłumiony (ζ> 1) – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według (zaniku wykładniczego) do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ζ tym układ powraca wolniej do równowagi.

Krytycznie tłumiony (ζ= 1) - układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.

Tłumiony słabo (0 <ζ<1) – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.

Nietłumiony (ζ= 0) – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej (ωo).

Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.
Nadajnik to urządzenie służące do emisji sygnału, zgodnego z założeniami konstrukcyjnymi. Sygnał może być niezmienny w zadanym przedziale czasu (nadajnik sygnalizacyjny) lub zmieniać się w zależności od sygnału sterującego. Sygnał emitowany jest najczęściej w postaci falowej. Wyróżnić można nadajniki fali:

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)