Tensor - Polski Serwis Naukowy

Definicja intuicyjna:
Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Tensor, wielkość tensorowa, gęstość tensorowa, obiekt geometryczny, pole tensorowe – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora.

Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

National Aeronautics and Space Administration (NASA) (pl. Narodowa Agencja Aeronautyki i Przestrzeni Kosmicznej) – agencja rządu Stanów Zjednoczonych odpowiedzialna za narodowy program lotów kosmicznych, ustanowiona 29 lipca 1958 r. na mocy National Aeronautics and Space Act.
Przekształcenie wieloliniowe - odwzorowanie produktu przestrzeni liniowych, które jest liniowe ze względu na każdą zmienną. Odwzorowanie w ciało nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny nazywa się formami wieloliniowymi.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione oraz można rozważać pola tensorowe.

Cel

Aby opisać jakąś geometryczną przestrzeń, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest rzeczą sztuczną, w rzeczywistości twór taki nigdzie nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Co więcej, czasami nie wiadomo, czy jakaś matematyczna własność jest cechą samej przestrzeni, czy tylko układu współrzędnych. Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.
Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące w danym punkcie kierunek najszybszego wzrostu danego pola skalarnego, a jego moduł (długość) jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
W teorii względności pole elektryczne i pole magnetyczne nie są opisywane jako osobne wektory w trójwymiarowej przestrzeni, lecz są składowymi czterowymiarowego antysymetrycznego tensora drugiego rodzaju (czyli po prostu 4x4) zwanego tensorem pola elektromagnetycznego. Tensor ten definiuje się przez pochodne czteropotencjału jako:

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ , $V^*$ będzie przestrzenią do niej sprzężoną oraz niech $p$ i $q$ będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Rozważmy iloczyn kartezjański $V^p\times (V^*)^q = \underbrace{V\times \ldots \times V}_p \times \underbrace{V^*\times \ldots \times V^*}_q$ .

Każde odwzorowanie (p+q)-liniowe $f\colon V^p\times (V^*)^q\to K$

nazywane jest tensorem na $V$ (typu (p,q) i rzędu $p+q$ ) p-krotnie kowariantnym i q-krotnie kontrawariantnym. Dla $p=0$ mówi się o tensorze kowariantnym a dla $q=0$ , o tensorze kontrawariantnym. Przyjmuje się, że tensory typu (0,0) to skalary (elementy ciała $K$ ).

Zbiór $\mathbb{T}^p_q(V)$ wszystkich tensorów typu $(p,q)$ na $V$ tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi punktowo.

Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.
Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Jeśli przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa oraz zbiór $\mathcal{B}=\{\alpha_1, \ldots, \alpha_p\}$ jest jej bazą, w przestrzeni sprzężonej można rozważać bazę sprzężoną do $\mathcal{B}$ , tzn. zbiór takich funkcjonałów lininowych $\delta_1, ... ,\delta_p$ na przestrzeni $V$ , że $\delta_i(\alpha_j)=1$ gdy $i=j$ oraz $\delta_i(\alpha_j)=0$ w przeciwnym przypadku. Każdy tensor na przestrzeni $V$ można wówczas przedstawić w postaci

$v = \sum _{i_1,...,i_n, j_1 ... j_m \in \{1...p\}} a_{i_1...i_n,j_1,...j_m} \alpha_{i_1} \otimes ... \otimes \alpha_{i_n} \otimes \delta _{j_1} \otimes ... \otimes \delta_{j_m}$

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.
Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

dla pewnych skalarów $a_{i_1...i_n,j_1,...j_m}$ , $i_1,...,i_n, j_1 ... j_m \in \{1...p\}$ ("składowych" tensora $v$ ). Symbol $\otimes$ symbolizuje to iloczyn tensorowy.

Wynika stąd, że jeżeli w przestrzeni $V$ zadana jest pewna baza (układ współrzędnych), to zdefiniować można również stowarzyszony z nią układ współrzędnych w przestrzeni tensorowej - ma to taką zaletę, że zmieniając dobór układu współrzędnych (bazy) w przestrzeni $V$ , współrzędne w przestrzeni tensorowej transformują się zgodnie z łatwymi do wyprowadzenia wzorami.

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Składowe zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze). Pojedyncze równanie tensorowe staje się układem równań na składowych. Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: składowe są zależne od układu współrzędnych, jednak równania na składowych są niezależne, o ile są tylko wykonywane zgodnie z pewnymi regułami.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Pole elektromagnetyczne - pole fizyczne, stan przestrzeni w której na obiekt fizyczny mający ładunek elektryczny działają siły o naturze elektromagnetycznej. Pole elektromagnetyczne jest układem dwóch pól: pola elektrycznego i pola magnetycznego. Pola te są wzajemnie związane a postrzeganie ich zależy też od obserwatora, wzajemną relację pól opisują równania Maxwella. Własności pola elektromagnetycznego, jego oddziaływanie z materią bada dział fizyki zwany elektrodynamiką. W mechanice kwantowej pole elektromagnetyczne jest postrzegane jako wirtualne fotony.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)