Tensor metryczny - Polski Serwis Naukowy

Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

W matematyce i fizyce matematycznej dla danego tensora z rozmaitości M z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru (k,l) na tensor wymiaru (k + 1,l − 1) (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (k − 1,l + 1) (opuścić indeks).

$A \cdot B = g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = A^{\mu}B_{\mu}$

gdzie:

$g_{\mu\nu}$ – tensor metryczny

$A^{\mu}$ – wektor o współrzędnych kontrawariantnych

$B_{\mu}$ – wektor o współrzędnych kowariantnych

Definicja tensora metrycznego

Niech będą dane dwa układy współrzędnych (bazy przestrzeni) w przestrzeni n-wymiarowej:

kartezjański $\{ x^{i} \} ^{n}_{i=1}$

krzywoliniowy $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$

Zdefiniujmy skalar długości jako:

$ds^{2} = (dx^{1})^{2} + \cdots + (dx^{n})^{2}$

Czterowektorem nazywamy element przestrzeni Minkowskiego, to jest czterowymiarowej przestrzeni wektorowej wyposażonej w symetryczny iloczyn skalarny o sygnaturze (1,3).

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

Jest to wielkość niezależna od układu współrzędnych, w układzie $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$ wyraża się jako:

$ds^{2} = (dq^{1})^{2} + \cdots + (dq^{n})^{2}$

Korzystając z reguły przejścia z jednego układu do drugiego:

$dx^{i} = \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}$

Otrzymujemy następujący wzór na skalar długości:

$ds^{2} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}$

Wyraz stojący po lewej stronie iloczynu różniczek jest właśnie tensorem metrycznym:

$g_{jk} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} }$

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.

Własności tensora metrycznego

Symetryczność

$g_{ij} = g_{ji}$ Ze względu na definicję tensor metryczny jest zawsze symetryczny.

Symetria góra-dół

$g_{ij}^{-1} = g^{ji}$ Tensor kowariantno-kowariantny jest reprezentowany przez macierz odwrotną do macierzy tensora kontrawariantno-kontrawariantnego.

$g^i_{\ j}=g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}=g^{\ i}_{j}$

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Obniżanie/podnoszenie wskaźników

Osobny artykuł: podwyższanie i obniżanie indeksów.

Dla dowolnego wektora a zachodzi:

$a_{i} = g_{ij} a^{j}$ oraz $a^{i} = g^{ij} a_{j}$

"Diagonalność" i współczynniki Lamego

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

$h^{2}_{i} = g_{ii}$ (nie ma sumowania)

Baza (łac. basis z gr. „krok, podstawa” od βάνειν bainein, iść – por. łac. venire; również z późnołac. bassus – gruby, krótki, niski) – pojęcie oznaczające pierwotnie przede wszystkim punkt wyjścia, miejsce początkowe, zaplecze; dziś oznacza przede wszystkim podstawę, podłoże, podwalinę, stąd także główny składnik, tworzywo, a przez to zasadniczą (zwykle dolną) część.

Geometria różniczkowa – dziedzina geometrii, badająca krzywe, powierzchnie i ich wielowymiarowe uogólnienia zwane hiperpowierzchniami i rozmaitościami, opierając się na geometrii analitycznej, szeroko stosując metody analizy matematycznej, głównie rachunku różniczkowego.

Przykłady tensorów metrycznych

Układ kartezjański (n-wymiarowy)

W układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same, stąd otrzymujemy:

$g_{ij} = \delta_{ij} = g^{ij}$

gdzie

$\delta_{ij}$ – delta Kroneckera

Układ kartezjański 3D

Macierz tensora metrycznego dla trójwymiarowego układu kartezjańskiego ma postać:

$g_{ij} = g^{ji} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Różniczka – w rachunku różniczkowym tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą x, to zmiana jej wartości często oznaczana jest Δx lub, gdy zmiana powinna być mała, δx. Różniczka reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Choć nie jest to precyzyjnie sformułowane matematycznie pojęcie, to jest ono niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Można pokazać, że transformacja obrotu układu współrzędnych nie zmienia tensora metrycznego w układzie kartezjańskim.

Czasoprzestrzeń (4D)

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni stosuje się specjalny tensor metryczny, dla którego znak współrzędnej czasowej jest przeciwny niż znak współrzędnych przestrzennych. Najczęściej stosowanym tensorem metrycznym w przestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) jest tensor postaci:

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

$g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać czterowektory za pomocą indeksów greckich – w celu odróżnienia od ich składowych przestrzennych, które nadal są oznaczane indeksami łacińskimi.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że skalar długości w tej metryce to:

$ds^{2} = c^{2}dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}$

Teoria Kaluzy-Kleina – teoria fizyczna łącząca teorię względności Einsteina z elektromagnetyzmem Maxwella za pomocą rozszerzenia czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego o hipotetyczny dodatkowy piąty wymiar.

Symbol Kroneckera, zwany także deltą Kroneckera, to dwuargumentowa funkcja, oznaczana symbolem δi, j, która przyjmuje wartość 1 dla i = j i 0 dla i ≠ j.

czyli interwał czasoprzestrzenny – punkt wyjścia teorii względności.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych $(c t, r, \theta, \phi)$ :

$g_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 - \frac{r_s}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}$

Współrzędne sferyczne (3D)

Współrzędne sferyczne $(r, \theta, \phi)$ są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

$\left \{ \begin{matrix} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{matrix} \right.$

Iloczyn skalarny – operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, jednak odnosi się ono zwykle do ogólniejszych iloczynów skalarnych w przestrzeniach unitarnych.

Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Powyższe współrzędne są współrzędnymi kontrawariantnymi.

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta \end{bmatrix}$

$g^{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta} \end{bmatrix}$

Zobacz też

Zobacz publikację na Wikibooks:
Definicja tensora metrycznego

Zobacz publikację na Wikibooks:
Tensor metryczny w STW

Zobacz publikację na Wikibooks:
Interwał czasoprzestrzenny w OTW

teoria Kaluzy-Kleina