Tensor napięć-energii - Polski Serwis Naukowy

Inaczej tensor energii-pędu jest tensorem wymiaru 4x4, którego każda składowa określa strumień czteropędu przez (trójwymiarową) hiperpowierzchnię przecinającą czterowymiarową czasoprzestrzeń fizyczną. Aby obliczyć składową [a,b] tego tensora w danym punkcie, bierzemy średnią (całkę) składowej a wektora czteropędu i dzielimy przez element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi b. Element [0,0] tego tensora to zwyczajna gęstość masy, składowe [0,a], gdzie 1 ≤ a ≤ 3 to gęstość pędu (średnia wartość pędu w jakimś obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru), a część [a,b], gdzie a i b przyjmują wartości 1 do 3, to znany z techniki tensor napięć. Składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie, a pozadiagonalne, to tzw. napięcie (albo naprężenie).

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Własności

Tensor napięć-energii jest w standardowej teorii względności symetryczny. Istnieją jednak teorie, gdzie postuluje się, że jest asymetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu - spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane niezależnie.

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Tensor napięć podlega zasadzie ciągłości: $\delta_{\alpha} T^{\alpha \beta} = 0,\!$

Jest to odpowiednik zasady ciągłości strugi z mechaniki płynów. Jeżeli przepływ energii w jednym kierunku staje się mniejszy, to większe muszą się stać przepływy w innych kierunkach, żeby energia miała gdzie "uciec".

Wyprowadzenie

Wariacja grawitacyjnej całki działania

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.

$\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0$

względem tensora metrycznego (g ) daje równania Einsteina $R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu}=-K T_{\mu \nu}$

definiując tensor energii-pędu: $T_{\mu \nu}=2\frac{\partial L_{m}}{\partial g^{\mu \nu}}-g_{\mu \nu}L_{m}$

gdzie Lm jest funkcją Lagrange'a opisującą materię. Tensor energii pędu jest źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni.

W przybliżeniu quasiklasycznym traktujemy materię kwantowo a pole grawitacyjnie w sposób klasyczny. W tym podejściu tensor energii-pędu zastępowany jest przez jego średnią, która jest liczona zgodnie z prawidłami kwantowej mechaniki statystycznej $T_{\mu \nu} \rightarrow \langle T_{\mu \nu} \rangle$

Równania Einstaina przyjmuje postać

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Materia – w potocznym rozumieniu ogół obiektywnie istniejących przedmiotów fizycznych poznawalnych zmysłami. W fizyce termin "materia" stosowany jest w kilku różnych, opisanych w artykule znaczeniach.

$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu}=-K \langle T_{\mu \nu} \rangle$

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego $\langle T_{\mu \nu} \rangle =(\epsilon + P)u_{\mu}u_{\nu} - g_{\mu \nu} P$

gdzie u jest wektorem jednostkowym $u_{\mu}u^{\mu}=1$ , $\epsilon$ jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

Przykładowo, w płaskiej przestrzeni Minkowskiego gμ ν=ημ ν=diag(1,-1,-1,-1) wektor jednostkowy u={1,0,0,0} i tensor energii-pędu ma postać macierzową $T_{\mu \nu}=\begin{bmatrix}\epsilon&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P \end{bmatrix}$

Pełna informacja o układzie fizycznym musi jeszcze zawierać równanie stanu materii (EOS), czyli zależność cisnienia od gęstości materii

Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch ciała. Pęd mają wszystkie formy materii, np. ciała obdarzone masą spoczynkową, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

Ciśnienie to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

$P = P \left( \epsilon \right)$

Zobacz też

równanie Einsteina