Teoria liczb - Polski Serwis Naukowy

Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić).

Bujny rozwój teoria liczb zawdzięcza w wielkiej mierze Pierre'owi Fermatowi (1601-1665), autorowi hipotezy, zwanej Wielkim Twierdzeniem Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał Carl Friedrich Gauss. Z polskich matematyków znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi Wacław Sierpiński, Andrzej Schinzel i Henryk Iwaniec. Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski.

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.

Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod teorii funkcji analitycznych. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na Lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.

Pierre de Fermat (ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne, zm. 12 stycznia 1665 w Castres) – matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista, od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa sądu) w Tuluzie. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn (1679). Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać przez odpowiednie przecinanie płaszczyzną powierzchni stożka; podał metodę znajdowania ekstremum funkcji. Jego prace stworzyły też podstawy pod późniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa.

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

Równania diofantyczne

Jednym z podstawowym problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Henryk Iwaniec (ur. 9 października 1947 w Elblągu) – polski i amerykański matematyk. Od 1983 roku profesor Instytutu Matematycznego PAN i członek PAN. Specjalizuje się w analitycznej teorii liczb.

Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica $a-b$ dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n).

Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

Trójka pitagorejska a. liczby pitagorejskie – w teorii liczb takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają tzw. równanie Pitagorasa:

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x + y = z. Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. "rozwiązania właściwe" lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: $x=k^2-l^2$ , $y=2kl$ , $z=k^2+l^2$ ; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Algebraiczna teoria liczb - gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych - liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi.

Diofantos (gr. Διόφαντος=Diophantos, łac. Diophantus; ur. około 200/214 n.e., zm. około 284/298 n.e.) – matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako Re(z), Im(z), |z|, gdzie z jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module |z|.

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Podział teorii liczb

Główne działy teorii liczb, to algebraiczna teoria liczb, analityczna teoria liczb oraz geometryczna teoria liczb. Wyodrębnionymi działami są też elementarna teoria liczb i kombinatoryczna teoria liczb. Poddziałem analitycznej teorii liczb jest probabilistyczna teoria liczb. Ponadto dwa główne działy analitycznej teorii liczb to multyplikatywna teoria liczb i addytywna teoria liczb. Teoria liczb pierwszych zalicza się do multyplikatywnej teorii liczb, a twierdzenie Lagrange'a: każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb całkowitych, jest przykładem wyniku należącego do addytywnej teorii liczb (ale także do elementarnej teorii liczb). Także teoria liczb niewymiernych jest częścią analitycznej teorii liczb, ale ma zastosowania w teorii równań diofantycznych, które z kolei są częścią algebraicznej teorii liczb.

Archimedes z Syrakuz (gr. Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios; ok. 287-212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.

Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

Linki zewnętrzne

Teoria Liczb – monografia autorstwa Wacława Sierpińskiego