Term - Polski Serwis Naukowy

Term – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu opisane poniżej.

W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.

Drzewo – oznacza w teorii grafów graf, który jest acykliczny i spójny. Mówiąc językiem obrazowym, z każdego wierzchołka drzewa można dotrzeć do każdego innego wierzchołka (spójność) i tylko jednym sposobem (acykliczność, czyli brak możliwości chodzenia w "kółko").

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ . Tak więc $\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język ${\mathcal L}(\tau)$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_0,x_1,\ldots$ ).

W logice, matematyce i informatyce argumentowość (lub arność) – liczba argumentów funkcji, funkcji zdaniowej, relacji, operatora lub symbolu funkcyjnego.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Termy języka ${\mathcal L}(\tau)$ to elementy najmniejszego zbioru ${\bold T}$ takiego, że:

wszystkie stałe i zmienne należą do ${\bold T}$ ,

jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ i $f\in\tau$ jest $n$ -arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}$ .

Przykłady

Język teorii grup to ${\mathcal L}(\{*\})$ gdzie $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykłądami termów tego języka są:

$x_1*x_1$ , oraz $x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1)))$ a także $(x_1*(x_1*(x_1*(x_1*x_1))))*(x_1*(x_2*(x_1*(x_2*x_1))))$

Język ciał uporządkowanych to ${\mathcal L}(\{+,\cdot,0,1,\leqslant\})$ gdzie $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1)$ , $(1+1)\cdot( (1+1)\cdot 1)$ , $((x_1+x_2)+0)\cdot x_7$ .

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Liczby porządkowe – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

Prolog (od francuskiego Programmation en Logique) jest to jeden z najpopularniejszychjęzyków programowania logicznego. Prolog powstał jako język programowania służący do automatycznej analizy języków naturalnych, jest jednak językiem ogólnego zastosowania, szczególnie dobrze sprawdzającym się w programach związanych ze sztuczną inteligencją. Prolog w przeciwieństwie do większości popularnych języków jest językiem deklaratywnym.

Termy booleowskie

W teorii forsingu rozważa się termy booleowskie wprowadzane następująco. Niech ${\mathbb B}=(B,+,\cdot,\sim,{\mathbf 0},{\mathbf 1})$ będzie zupełną algebrą Boole'a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$ definujemy zbiory ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ złożone z termów boole'owskich rangi $\alpha$ :

${\mathbf V}^{\mathbb B}_0=\emptyset$ ,

${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\beta$ gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną,

${\mathbf V}^{\mathbb B}_{\alpha+1}$ jest zbiorem wszystkich funkcji t których dziedzina ${\rm dom}(t)$ jest podzbiorem ${\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ , a wartości należą do algebry ${\mathbb B}$ .

Kładziemy też ${\mathbf V}^{\mathbb B}=\bigcup\limits_{\alpha\in{\mathbf{ON}}}{\mathbf V}^{\mathbb B}_\alpha$ .

Termy booleowskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli terii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w Logice (na przykład w języku Prolog).

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.