Test Kołmogorowa-Smirnowa - Polski Serwis Naukowy

Test Kołmogorowa-Smirnowa – test nieparametryczny używany do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Istnieją dwie główne wersje tego testu – dla jednej próby i dla dwóch prób.

Test dla jednej próby (zwany też testem zgodności λ Kołmogorowa) sprawdza, czy rozkład w populacji dla pewnej zmiennej losowej, różni się od założonego rozkładu teoretycznego, gdy znana jest jedynie pewna skończona liczba obserwacji tej zmiennej (próba statystyczna). Często wykorzystywany jest on w celu sprawdzenia, czy zmienna ma rozkład normalny. Dla celów testowania normalności zostały dokonane w teście drobne usprawnienia, znane jako test Lillieforsa.

Test Andersona-Darlinga – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Jest modyfikacją testu Craméra-von Misesa dokonaną w celu poprawy jego czułości w "ogonach" testowanego rozkładu.
Test statystyczny - formuła matematyczna pozwalająca oszacować prawdopodobieństwo spełnienia pewnej hipotezy statystycznej w populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.

Istnieje też wersja testu dla dwóch prób, pozwalająca na porównanie rozkładów dwóch zmiennych losowych. Jego zaletą jest wrażliwość zarówno na różnice w położeniu, jak i w kształcie dystrybuanty empirycznej porównywanych próbek.

Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa

Dystrybuanta empiryczna $F_n$ dla n-elementowej próby jest zdefiniowana jako funkcja: $F_n(x)={1 \over n}\sum_{i=1}^n I_{X_i\leqslant x}$

gdzie:

Obszar krytyczny testu - w statystyce zbiór wartości rozkładu funkcji testowej w teście statystycznym, których wystąpienie, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej (H0), jest wystarczająco mało prawdopodobne, żeby (empiryczna) realizacja zmiennej losowej mieszcząca się w obszarze krytycznym pozwalała na odrzucenie tej hipotezy.
Statystyka nieparametryczna – gałąź statystyki, zajmująca się modelami i metodami, nie wymagającymi założeń odnośnie do rozkładu populacji z której losowana jest próba.

$X_i$ to wartość zmiennej $X$ dla $i$ -tej obserwacji.

$I_{X_i\leqslant x}$ to funkcja charakterystyczna (tu: przyjmująca wartość jeden gdy $X_i\leqslant x$ i zero w przeciwnym wypadku).

Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa dla danej dystrybuanty teoretycznej $F(x)$ jest dana wzorem: $D_n=\sup_x |F_n(x)-F(x)|,$

Na mocy twierdzenia Gliwenki-Cantellego, jeśli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie $F(x)$ , to $D_n$ dąży prawie wszędzie do zera. Kołmogorow wzmocnił ten wynik stwarzając efektywną metodę oceny tej zbieżności (zobacz niżej). Twierdzenie Donskera dostarcza jednak jeszcze silniejszego wyniku.

Rozkład Kołmogorowa

Rozkład Kołmogorowa to rozkład zmiennej losowej

Moc testu (pojęcie statystyczne) to prawdopodobieństwo niepopełnienia błędu drugiego rodzaju. Im większe jest to prawdopodobieństwo, tym lepszy jest dany test jako narzędzie do różnicowania między hipotezą prawdziwą i fałszywą.
Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).

$K=\sup_{t\in[0,1]}|B(t)|,$

gdzie $B(t)$ jest mostem Browna. Dystrybuanta $K$ jest dana przez $\operatorname{Pr}(K\leqslant x)=1-2\sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} e^{-2i^2 x^2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{x}\sum_{i=1}^\infty e^{-(2i-1)^2\pi^2/(8x^2)}.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)