Tożsamość polaryzacyjna - Polski Serwis Naukowy

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Twierdzenie

Jeśli $x$ i $y$ są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej $X$ , to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:

Zastępując w równaniu (1) $y$ przez $- y$ otrzymuje się wzór

Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok można zapisać ją wzorem

Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa) – twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.

Dodanie równań (1) oraz (2) daje $\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2\| x\|^2 + 2\| y\|^2$ ,

co odpowiada tożsamości równoległoboku.

Z kolei odejmując stronami (2) od (1) dostaje się $\| x + y\|^2 - \| x - y\|^2 = 4\langle x, y\rangle$ .

Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie (1) odpowiada (3), a równanie (2) odpowiada (4), a powyższa suma (1) oraz (2) poniżej sumie (3) i (4). Tożsamość (1) jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:

z kolei w (2), podobnie jak wyżej, zmieniono znak $b$ :

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.

ostatecznie suma (3) i (4), to $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2 a^2 + 2 b^2\;$ .

Wyprowadzenie

Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem

Iloczyn skalarny $\langle x + y, x + y\rangle = \langle x + y, x\rangle + \langle x + y, y\rangle$

jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje $\langle x + y, x + y\rangle = \langle x, x\rangle + \langle y, x\rangle + \langle x, y\rangle + \langle y, y\rangle$

a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do

Przyłożenie definicji normy z równania (5) do (6) daje równanie (1), czyli tożsamość polaryzacyjną.

Uogólnienia

Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.