Topologia - dział matematyki - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy działu matematyki. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Teoria grafów dział w matematyce i informatyce zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
MSC 2000 (ang. Mathematics Subject Classification 2000) – hierarchiczna klasyfikacja badań naukowych w matematyce sformułowana przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.

Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni (poprzez zginanie i rozciąganie) bez jej rozerwania i "zlepienia" różnych punktów. Najłatwiej wyobrazić to sobie, przyjmując, że powierzchnię figury wykonano z cienkiej powłoki gumowej.

Początki

Siedem mostów w Królewcu

Przez Królewiec przepływa rzeka dzieląc miasto na dwie części, na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy, co pokazuje ilustracja obok. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz, oraz wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło. W postawionym problemie nieważne są odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów czy jakiekolwiek kąty. Zagadnienie mostów królewieckich rozwiązał w 1736 r. Leonhard Euler, który wykazał, że jest to niemożliwe.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Podobnie topologiczny charakter ma twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych, które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa, jednak wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością). Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez Henriego Poincaré na dowolne wielościany, a przez Solomona Lefschetza na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
Włodzimierz Kuperberg - (ur. 19 stycznia 1941 roku) amerykański matematyk polskiego pochodzenia, profesor Uniwersytetu Auburn w Alabamie, specjalista w dziedzinie geometrii (ponad 30 publikacji) i topologii (również ok. 30 publikacji).

Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora. Twierdzenia te mają charakter kombinatoryczny, z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej topologii algebraicznej nazywano niegdyś topologią kombinatoryczną.

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Nieco inny charakter ma klasyczne twierdzenie Weierstrassa analizy: każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma wymiar geometryczny, gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej - takich jak na przykład twierdzenie Pitagorasa: w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej, krzywej (takiej jak okrąg), płaszczyźnie. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.
Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.

Rys historyczny

Za twórcę topologii uważa się Bernharda Riemanna, który jako pierwszy prowadził badania stricte topologiczne, choć jak już wspomniano, pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.

Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej szkole matematycznej. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako geometria situs (łac. geometria położenia/miejsca) lub analysis situs (łac. analiza położenia/miejsca).

Grigorij Jakowlewicz Perelman, ros. Григорий Яковлевич Перельман (ur. 13 czerwca 1966 w Leningradzie) – rosyjski matematyk, profesor (do 2003 roku) Instytutu Stiekłowa w Sankt Petersburgu. W 2003 Udowodnił hipotezę Poincarégo, jeden z najważniejszych problemów w topologii.
Język grecki albo greka — język indoeuropejski z grupy helleńskiej, w starożytności ważny język basenu Morza Śródziemnego. W cywilizacji Zachodu zaadaptowany obok łaciny jako język terminologii naukowej, wywarł wpływ na wszystkie współczesne języki europejskie, a także część pozaeuropejskich i starożytnych. Od X wieku p.n.e. zapisywany jest alfabetem greckim. Obecnie, jako język nowogrecki, pełni funkcję języka urzędowego w Grecji i Cyprze. Jest też jednym z języków oficjalnych Unii Europejskiej. Po grecku mówi współcześnie około 15 milionów ludzi.

Termin topologia był po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847, a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki i pewnych matematyków zaczęto określać jako topologów.

Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są:

W 1854 Riemann wygłasza na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna.

W końcu XIX w. Georg Cantor zainteresowany podzbiorami prostej rzeczywistej pojawiającymi się w teorii szeregów Fouriera rozwinął podstawy teorii mnogości. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach. Wkrótce jego prace stały się podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej.

W 1890 Giuseppe Peano podał przykład ciągłego odwzorowania z odcinka $[0,1]$ na kwadrat $[0,1]\times [0,1]$ . Ten i inne przykłady krzywych Peano były bodźcem do rozwoju teorii wymiaru.

W 1894 Henri Poincaré wprowadził pojęcie grupy podstawowej i pokazał, że 2-wymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie podstawowej, jest homeomorficzna z 2-wymiarową sferą. Następnie próbował, bez sukcesu, dowieść analogicznej hipotezy, zwanej hipotezą Poincarego, dla rozmaitości 3-wymiarowych. Udało się to dopiero Grigorijowi Perelmanowi.

W 1895 Henri Poincaré opublikował pracę Analysis Situs, w której wprowadził pojęcia homotopii i liczb Bettiego, które Emma Noether zastąpiła grupami homologii, i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii ustalając podstawy topologii algebraicznej.

W 1906 Maurice Fréchet w swojej rozprawie doktorskiej wprowadził pojęcie przestrzeni metrycznej (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona nadana tego typu przestrzeniom później przez Felixa Hausdorffa). Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie przestrzeni Frécheta).

W 1914 r. Felix Hausdorff wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako przestrzenie Hausdorffa (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z wcześniejszych badań Hilberta, dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej).

Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia, równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował Kazimierz Kuratowski. Początkowo jego definicja obejmowała przestrzenie T1.

Stany Zjednoczone, Stany Zjednoczone Ameryki (ang.: United States, United States of America, US, USA) – państwo w Ameryce Północnej graniczące z Kanadą od północy, Meksykiem od południa, Oceanem Spokojnym od zachodu, Oceanem Arktycznym od północnego zachodu, Oceanem Atlantyckim od wschodu.
Topologia sieci komputerowej – model układu połączeń różnych elementów (linki, węzły itd.) sieci komputerowej. Określenie topologia sieci może odnosić się do konstrukcji fizycznej albo logicznej sieci.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)