Torus - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Torus

Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Często oznacza się go symbolem $\mathrm{T}^2$ lub $\mathbb{T}^2$ .

Topologia ilorazowa – dla danej przestrzeni topologicznej oraz relacji równoważności na niej określonej, najsilniejsza topologia na przestrzeni ilorazowej względem której odwzorowanie, przyporządkowujące danemu punktowi przestrzeni jego klasę abstrakcji, jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali po raz pierwszy Robert Lee Moore oraz Paweł Aleksandrow.

Rozmaitość algebraiczna - pojęcie matematyczne, z dziedziny geometrii algebraicznej, oznaczające zasadniczo zbiór punktów, których współrzędne spełniają pewien układ równań wielomianowych.

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje

Jeśli okrąg z definicji ma promień $r\;$ , oś obrotu pokrywa się z osią $OZ$ układu współrzędnych kartezjańskich, a jej odległość od środka torusa wynosi $R\;$ , to równanie torusa przyjmuje postać: $(\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 = r^2.$

Pole powierzchni torusa wyraża się wzorem:

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

$S = 4 \pi^2rR,\;$

z kolei objętość ograniczonego nim ciała to: $V = 2\pi^2Rr^2.\;$

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $xz\;$ o środku w punkcie $\left(R,\ 0,\ 0\right)$ i promieniu $r,\,$ gdzie $R>r>0\;$ . Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco: $f(\alpha) = (R+r\cos \alpha,\ 0,\ r\sin \alpha).$

Obróćmy ten okrąg o kąt $\beta\;$ wokół osi $z\;$ . W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

Promień (oznaczany literą r od łacińskiego słowa radius) to w geometrii odcinek łączący środek koła, okręgu, kuli lub sfery z dowolnym punktem położonym na jej brzegu, a także długość tego odcinka. Długość promienia jest w tym przypadku zawsze równa połowie długości średnicy, co wyraża wzór

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

$U_{\beta}=\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$

Zatem: $p\left(\alpha,\ \beta\right) = U_{\beta}\cdot f^{T}(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos \alpha\\ 0\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos \alpha\right)\cos \beta\\ \left(R+r\cos \alpha\right)\sin \beta\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}.$

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci: $p(\alpha,\ \beta)=\Big((R+r\cos \alpha)\cos \beta,\ (R+r\cos \alpha)\sin \beta,\ r\sin \alpha\Big).$

Krzywizna Gaussa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $p(\alpha,\ \beta) = \Big(g(\alpha),\ h(\alpha)\cos \beta, h(\alpha)\sin \beta \Big)$ w punkcie $P = p(\alpha,\ \beta)$ można wyznaczyć ze wzoru: $K_{P}={g^\prime\left(g^{\prime\prime}h^\prime-h^{\prime\prime}g^\prime\right)\over h\left(g^{\prime 2}+h^{\prime 2}\right)^2}.$

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy: $h(\alpha) = R+r\cos \alpha, \qquad g(\alpha) = r\sin \alpha.$

Stąd: $h^\prime(\alpha) = -r\sin \alpha, \qquad g^\prime(\alpha) = r\cos \alpha;$ $h^{\prime\prime}(\alpha) = -r\cos \alpha, \qquad g^{\prime\prime}(\alpha) = -r\sin \alpha.$

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$K_{P}={\cos \alpha \over r(R+r\cos \alpha)}.$

Zauważmy, że:

dla $-\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha>0,\;$ czyli $K_{P}>0\;$ na zewnętrznej stronie torusa;

dla $\alpha=-\tfrac{\pi}{2},\; \alpha=\tfrac{\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha=0,\;$ czyli $K_{P}=0\;$ na górze i dole torusa;

dla $\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{3\pi}{2}$ mamy $\cos \alpha<0,\;$ czyli $K_{P}<0\;$ po wewnętrznej stronie torusa;

gdy $\alpha=0,\;$ wówczas $K_{P}\;$ przyjmuje maksimum, tj. $K(0)=\tfrac{1}{r(R+r)}$ na największym okręgu (równoleżniku);

gdy $\alpha=\pi,\;$ wówczas $K_{P}\;$ przyjmuje minimum, tj. $K(\pi)=\tfrac{1}{r(R-r)}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową $\mathbb{R}^2 / \sim\;$ , gdzie $\sim\;$ jest relacją równoważności określoną następująco:

Dętka rowerowa - torus znajdujący się na obwodzie koła, między oponą a obręczą. Do produkcji dętek używa się głównie gumy butylowej lub lateksowej. Po wewnętrznej stronie dętki znajduje się wentyl, który przechodzi przez otwór w obręczy i jest jedynym widocznym elementem dętki w gotowym do jazdy kole. Można spotkać się z trzema rodzajami wentyli: Schradera (samochodowy), Presta lub Dunlopa.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

$(x, y) \sim (x', y') \Leftrightarrow x - x' \in \mathbb{Z}, y - y' \in \mathbb{Z}$ .

Wynika stąd istnienie odwzorowania $p: \mathbb{R}^2 \rightarrow T^2$ , $f(x, y) = [(x, y)]_{\sim}\;$ , które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji $\sim\;$ i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Toroid jest to bryła geometryczna w kształcie pierścienia. Powstaje poprzez obrót dowolnej figury geometrycznej (prostokąta, okręgu, trójkąta) dookoła osi leżącej poza tą figurą.

Zobacz też

Wikimedia Commons ma galerię ilustracji związaną z tematem:
Torus (matematyka)

toroid

genus

Linki zewnętrzne

Torus (ang.) w encyklopedii MathWorld