Transformacja Fouriera - Polski Serwis Naukowy

Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Definicje podstawowe

Transformatę Fouriera można określić dla funkcji $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ (gdzie $L^1(\mathbb{R}^n)$ jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na $\mathbb{R}^n$ ) wzorem:

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów a nawet w muzyce (kompresja mp3 i jpeg).

$\hat{f}(\xi) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\ e^{- 2\pi i (x, \xi)}\,dx,$

gdzie $i$ - jednostka urojona ( $i^{2} = -1$ ), a $(x, \xi)$ jest iloczynem skalarnym wektorów $x, \xi \in \mathbb{R}^n$ . Często przestrzeń $L^1(\mathbb{R}^n)$ ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ - przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na $\mathbb{R}^n$

Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.
Transmitancja widmowa to w automatyce stosunek wartości zespolonej odpowiedzi Y układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia, w stanie ustalonym. Transmitancja widmowa opisuje odtwarzanie przez dany obiekt (układ) zmieniającego się sygnału wejściowego i można otrzymać ją przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie s = jω:

W przypadku jednowymiarowym transformacja Fouriera wyraża się wzorem: $\hat{f}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2 \pi i x \xi}\,dx.$

Tranformacja Fouriera ograniczona do przestrzeni $L^2$ jest izomorfizmem przestrzeni $L^2$ na siebie. Wynika to z twierdzenia Plancherela.

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja f może być zrekonstruowana z $\hat f$ poprzez transformację odwrotną: $f(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi.$

Alternatywne definicje

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

Wejście i wyjście - w teorii sterowania punkty, przez które można wprowadzać sygnały oddziaływania na obiekt (lub odpowiednio element, człon układu, układ), nazywa się zwykle wejściami tego obiektu, a punkty, w których można obserwować (mierzyć) zachowanie się obiektu - jego wyjściami.
Dyskretna transformata Fouriera (DFT z ang. Discrete Fourier Transform) jest transformatą Fouriera wyznaczoną dla sygnału próbkowanego, a więc dyskretnego.

1. Transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega$ :

$\hat{f}(\omega) =\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega$ ,

gdzie

$f(t)$ - funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

$\hat{f}(\omega)$ transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

$\omega = \frac{2\pi}{T} = {2\pi}\nu$ - pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji $\nu$ .

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $\omega$ :

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega$ ,

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)