Transformacja Lorentza - Polski Serwis Naukowy

Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora

Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Transformacja współrzędnych

Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia.

Czterowektorem nazywamy element przestrzeni Minkowskiego, to jest czterowymiarowej przestrzeni wektorowej wyposażonej w symetryczny iloczyn skalarny o sygnaturze (1,3).

W fizyce i matematyce grupa Poincarégo jest to grupa izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest to 10-wymiarowa grupa Liego nazwana na cześć jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności. Abelowa grupa translacji w czasoprzestrzeni jest podgrupą normalną, podczas gdy grupa Lorentza jest podgrupą, czyli pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym translacji i transformacji Lorentza. Innym sposobem wyprowadzenia grupy Poincaré jest rozszerzenie grupy Lorentza za pomocą jej reprezentacji wektorowej. Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana przez grupę Poincarégo. Wedle tego programu przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią jednorodną dla grupy Poincarégo.

Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością $v\,$ wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach ( $t=0$ ) i ( $t'=0$ ) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:

Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.

Transformacja Galileusza – jest to transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. W transformacji tej czas i odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami pozostają stałe, czyli są niezależne od układu odniesienia. Transformacja Galileusza jest zgodna z klasycznymi wyobrażeniami o czasie i przestrzeni. Transformacja zakłada, że prędkość oraz położenie są względne. Wartości te widoczne dla dowolnego obserwatora w każdym inercjalnym układzie odniesienia mogą być różne, ale każda z nich jest prawdziwa. Względność oznacza, że prawda jest zależna od “punktu siedzenia”. We wszystkich układach zegary obserwatorów mierzą czas absolutny, a więc on nie jest względny. Co więcej wymiary liniowe obiektów też są identyczne w każdym układzie nieinercjalnym.

$x' = \gamma (x - vt)\,$ $y' = y\,$ $z' = z\,$ $t' = \gamma \left(t - \frac{v \cdot x}{c^{2}} \right)$

gdzie $\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2} }$

lub inaczej $\beta = {v/c}\,$ $\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - \beta^2} }$

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła $\gamma \to 1$ i $\frac{v}{c}\to 0$ , transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

W uogólnieniu macierzowym

Rozpatrujemy czterowektory, których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina):

Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Prawo Biota-Savarta - jest to prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

$w^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}_{\alpha} v^{\alpha}$

gdzie: $v^{\alpha}\,$ - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych $w^{\alpha'}\,$ - wektor w nowym układzie współrzędnych $\Lambda^{\alpha'}_{\alpha}$ - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.

Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej C1 posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.

$\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \Lambda^{\beta'}_{\beta} g^{\alpha \beta} = g^{\alpha' \beta'}$ $|\det(\Lambda^{\alpha'}_{\alpha})| = 1$

Przekształcenia i podgrupy

W teorii względności stosowane są grupy Lorentza i Poincarégo. Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te stanowią grupę Poincarégo. Jeżeli wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest równy dokładnie 1, wtedy opisane macierzowo przekształcenie tworzy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych. Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w ten sam punkt przestrzeni, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.

Pchnięcie Lorentza

Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względna prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie. Interwał czasoprzestrzenny, który w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej, niepodlegającej obrotom i translacjom, oraz przestrzennej, pozostaje niezmienniczy ze względu na obroty i translacje w przestrzeni trójwymiarowej. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej rozważać działania w postaci obrotu oraz przesunięcia i tym samym wyróżnić podgrupę obrotów i podgrupę translacji.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych

Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii względności a także wielkości składowych pól elektrycznego i magnetycznego, które zmieniają się przy zmianie układu odniesienia, jak również określają dodatkowe niezmienniki.

Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda

Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu Bx',t' w porównaniu z układem Ax,t jest opisana następującymi równaniami: $x' = \gamma (x - vt)\,$ $t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2} \right)$

Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x'1, x'2 na osi OX' w tej samej chwili t' (ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX', stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy x' za pomocą t': $t = {t' \over \gamma} + \frac{vx}{c^2}$ $x' = \gamma (x - v\frac{t'}{\gamma} - v \frac{vx}{c^2}) = \gamma (x - \frac{v^2 x}{c^2}) - vt' = \gamma x (1 - \frac{v^2}{c^2}) - vt'$ $1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$ $x' = \gamma \frac{x}{\gamma^2} - vt' = \frac{x}{\gamma} - vt'$

Obliczmy długość L' (zał. t'1 = t'2): $L' = x'_2 - x'_1 = \frac{x_2}{\gamma} - vt'_2 - \frac{x_1}{\gamma} + vt'_1 = \frac{x_2 - x_1}{\gamma} = \frac{L}{\gamma}$

Ponieważ $\gamma$ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.

Dylatacja czasu

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwu zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie: $\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2} \right) = \gamma \Delta t$ .

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu ( $\gamma$ > 1).

Pole magnetyczne

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego ( $E_0$ ) i wektor natężenia pola magnetycznego ( $B$ ) można połączyć w jeden czterowektor ( $E$ ). $E = [E_0, c B_1, c B_2, c B_3]\,$

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego. $E_0 = \text{const}\,$ $B = [0, 0, 0]\,$

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością v. $E'_0 = \gamma (E_0 - v c B_1) = \gamma E_0\,$ $B'_1 = \gamma (B_1 - \frac{v}{c} E_0) = -\gamma \frac{v}{c} E_0$

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik $\gamma$ jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampera i Biota-Savarta.