Translacja - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku.

Translacja, przesunięcie – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez deformacji i obracania.

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Definicja

Niech $\mathbf v$ będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej $\mathbf V$ .

Translacją $T_v$ nazywamy przekształcenie dane wzorem: $T_\mathbf v(x) = x + \mathbf v.$

Wektor $\mathbf v$ nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury $A$ w przekształceniu $T_v$ nazywa się translacją figury $A$ o wektor $\mathbf v$ i oznacza $A + \mathbf v.$

Własności

Jeśli $\mathbf v = \mathbf 0$ , to translacja $T$ jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś $\mathbf v \ne \mathbf 0$ , to $T$ nie ma żadnego punktu stałego.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Grupa ilorazowa – grupa, której elementami są warstwy danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej z naturalnie określonym na nich działaniem. Innymi słowy jest to przestrzeń ilorazowa z działaniem odziedziczonym z grupy wyjściowej, przy czym relacja równoważności ją definiująca jest wyznaczona jednoznacznie przez pewną podgrupę normalną.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji $T\,$ i dowolnej izometrii $G\,$ przekształcenie $GTG^{-1}\,$ też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

Symetria płaszczyznowa względem płaszczyzny P – odwzorowanie geometryczne przestrzeni przyporządkowujące każdemu punktowi A tej przestrzeni punkt A’ taki, że punkty A i A’ leżą na prostej prostopadłej do P, w równych odległościach od płaszczyzny P i po jej przeciwnych stronach .

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

kierunek (tzn. klasa prostych równoległych),

odległość punktów,

orientacja przestrzeni.

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie robi”.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Przypisy

tj. w przestrzeniach afinicznych stowarzyszonych z przestrzenią liniowa wyposażoną w iloczyn skalarny