Transmitancja - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy elektroniki i automatyki. Zapoznaj się również z: transmitancja i absorbancja.

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, $G(s)\,$ ) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$ .

Teoria sterowania - jedna z gałęzi cybernetyki, zajmuje się analizą i modelowaniem matematycznym obiektów i procesów różnej natury (np. chemicznych, cieplnych, mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, elektrycznych).
Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (zwłaszcza układu automatycznej regulacji). Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, gdy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się zmiennej stanu czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów lub modelem zmiennych stanu.

Transmitancja jest częstotliwościowym modelem układu (w postaci zasadniczej określonym w dziedzinie s). Określa ogólne własności stacjonarnego układu liniowego o jednym wejściu i jednym wyjściu, niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o $n\,$ wejściach i $m\,$ wyjściach można określić $m\,$ x $n\,$ transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem. Transmitancji używa się często dla uproszczenia obliczeń związanych z projektowaniem układu złożonego z wielu elementów, głównie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, elektronice i automatyce.

Zmienna - w teorii sterowania zmienne są to te wielkości, które zawierają informacje o zachowaniu się obiektu (stąd często mówi się o sygnałach związanych z obiektem).
Transmitancja widmowa to w automatyce stosunek wartości zespolonej odpowiedzi Y układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia, w stanie ustalonym. Transmitancja widmowa opisuje odtwarzanie przez dany obiekt (układ) zmieniającego się sygnału wejściowego i można otrzymać ją przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie s = jω:

Transmitancje układów ciągłych

Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach: $a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + ... + b_1 \frac{du}{dt} + b_0 u$

transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1} +\ldots+a_1s+a_0}$ ,

Wejście i wyjście - w teorii sterowania punkty, przez które można wprowadzać sygnały oddziaływania na obiekt (lub odpowiednio element, człon układu, układ), nazywa się zwykle wejściami tego obiektu, a punkty, w których można obserwować (mierzyć) zachowanie się obiektu - jego wyjściami.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

gdzie dla układów realizowalnych fizycznie $m \leqslant n$ . Transmitancja operatorowa, w której stopień licznika jest mniejszy lub równy stopniowi mianownika nazywamy transmitancją właściwą a jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika - transmitancją ściśle właściwą.

Pierwiastki licznika transmitancji określane są zerami transmitancji (lub zerami układu, który ta transmitancja opisuje). Przyrównując mianownik transmitancji do zera otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne. Pierwiastki mianownika transmitancji (czyli odpowiadającego jej równania charakterystycznego) określa się mianem biegunów transmitancji (lub biegunów układu, który ta transmitancja opisuje) albo też mianem wartości własnych układu (opisanych przez tą transmitancję).

Absorpcja – w optyce proces pochłaniania energii fali elektromagnetycznej przez substancję. Natężenie światła wiązki przechodzącej przez substancję ulega zmniejszeniu nie tylko w wyniku absorpcji, lecz również na skutek rozpraszania światła. O ile jednak promieniowanie rozproszone opuszcza ciało, to część zaabsorbowana zanika powodując wzrost energii wewnętrznej tego ciała.
Opis typu wejście-wyjście - w teorii sterowania opis układu typu czarna skrzynka, przedstawiający wprost zależność wyjścia układu regulacji od jego wejścia z pominięciem wewnętrznego stanu układu (w opisie takim nie występują więc w sposób jawny zmienne opisujące stan układu).

Transmitancje układów dyskretnych

Ponieważ w układach dyskretnych czas jest zmienną nieciągłą, więc podstawowe równanie stanu układu ma postać równania różnicowego a nie różniczkowego (zobacz też opis typu wejście-wyjście). Niech równanie różnicowe będzie miało postać:

$y(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+...+a_{1}y(k+1)+a_{0}y(k)\,$ $=b_{m}u(k+m)+...+b_{1}u(k+1)+b_{0}u(k)\,$ .

Pulsacja (częstość kołowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:
Dynamika układów to pojęcie określające charakterystyczną cechę wszelkich rzeczywistych układów fizycznych - zdolność do magazynowania i przetwarzania energii. Każda zmiana parametru układu (jego struktury, parametru elementu, czy też wielkości wejściowej układu) powoduje przepływ i przetwarzanie energii w układzie. Ponieważ przepływ energii wymaga upływu czasu, zmiany wielkości układu powiązanych bezpośrednio z elementami magazynującymi energię nie mogą być skokowe.

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach dlatego transmitancja operatorowa układów dyskretnych opiera się o przekształcenie Z. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych. Trasmitancja impulsowa odpowiadająca powyższemu równaniu różnicowemu ma więc postać:

Całka splotowa - obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście, mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu).
Układ niestacjonarny - to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu, układ stacjonarny natomiast to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.

$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\ldots+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1} +\ldots+a_1z+a_0}$ .

Wyznaczanie eksperymentalne

Załóżmy, że mamy dany stacjonarny liniowy układ dynamiczny. Na jego wejście podano sygnał wymuszający $u(t)\,$ i na wyjściu uzyskano odpowiedź $y(t)\,$ . Jeżeli dokonamy transformaty Laplace'a funkcji opisujących sygnał wejściowy i wyjściowy $Y(s) = \mathcal{L} \left\{y(t)\right\}$ $U(s) = \mathcal{L} \left\{u(t)\right\}$

i podzielimy otrzymane transformaty to otrzymamy transmitancję układu $G(s)\,$ :

Elektronika – dziedzina techniki i nauki zajmującą się wytwarzaniem i przetwarzaniem sygnałów w postaci prądów i napięć elektrycznych lub pól elektromagnetycznych.
Składowa harmoniczna jest pojęciem często używanym w teorii sygnałów. Jest to składowa szeregu Fouriera analizowanego sygnału (poza składową zerową zwaną składową stałą). Składowa harmoniczna jest częścią reprezentacji sygnału w dziedzinie widmowej (częstotliwości).

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$ .

Badanie układu o nieznanych właściwościach dokonuje się poprzez podanie na jego wejście sygnału (najczęściej skok jednostkowy) i wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego, przybliżanego funkcją matematyczną, której znajomość pozwala na określenie transmitancji. Na podstawie znajomości funkcji przejścia można wyznaczyć sygnał jaki uzyskamy na wyjściu układu dla dowolnego sygnału wejściowego. Wystarczy dokonać odwrotnej transformaty Laplace'a:

Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.
Liczba urojona to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Gerolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1700–1783) i Gaussa (1777–1855).

$y(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{U(s)\cdot G(s)\right\}$

gdzie $G(s)\,$ jest transmitancją układu, a $U(s)\,$ transformatą Laplace'a sygnału wejściowego.

Innym częstym zastosowaniem transmitancji jest wyznaczanie wartości, do której zmierza sygnał wyjściowy układu przy zadanym wejściu. Korzysta się wtedy z własności granicznych transformaty Laplace'a (twierdzenie o wartości granicznej): $y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} \left( s\cdot G(s) \cdot U(s)\right)$

gdzie $y(t)\,$ oznacza przebieg sygnału wyjściowego w czasie, a $U(s)\,$ transformatę Laplace'a sygnału wejściowego.

Układ dynamiczny, model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w automatyce.
Macierz transmitancji (zwana też macierzą transmitancji operatorowych, macierzą transmitancyjną, ang. transfer matrix) - termin stosowany w teorii sterowania na określenie macierzy, która wiąże wejście z wyjściem w przypadku układów o wielu wejściach i wyjściach. Macierz transmitancji stanowi więc rozszerzenie koncepcji transmitancji operatorowej na układy o wielu wejściach i wyjściach.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)