Trapez prostokątny

Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia tego słowa.

Zobacz hasło trapez w Wikisłowniku

Trapez

Trapez – czworokąt mający parę równoległych boków nazywanych podstawami, pozostałe noszą nazwę ramion; odległość między podstawami to wysokość. Niektórzy autorzy definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem.

Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°.

Własności

Pole trapezu dane jest wzorem: $P=\frac{a+b}{2} \cdot h \ ,\,$

gdzie:

$a, b\, -\,$ długości podstaw;

$h\, -\,$ wysokość, czyli odległość między podstawami.

Inny wzór: $P=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\ \sqrt{a-b+c+d}\ \sqrt{a-b-c+d}\ \sqrt{a-b+c-d}\ \sqrt{-a+b+c+d} \ ,\,$

gdzie:

$b\, -\,$ długość dłuższej podstawy,

$a\, -\,$ długość krótszej podstawy,

$c, d\, -\,$ długości ramion.

Obowiązuje dla $a\,$ $>\,$ $b\, ;\,$

dla

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.

$b\,=0\, \,$

otrzymujemy trójkąt i wzór Herona.

Jeśli oznaczymy przez P punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty ADP i BCP mają równe pola.

Dowód: Trójkąty ABC i ABD mają wspólną podstawę i równą wysokość, a zatem równe pola. Trójkąty BCP i ADP powstają z nich przez odjęcie trójkąta ABP.

Szczególne rodzaje trapezów

Trapez równoramienny

Trapez równoramienny jest to trapez, mający oś symetrii, przechodzącą przez środki podstaw (i będącą zarazem ich symetralną). Ramiona takiego trapezu są równej długości. Kąty między ramionami a daną podstawą są sobie równe.

Przekątna (dawniej: przekątnia) to odcinek łączący dowolne dwa wierzchołki wielokąta lub wielościanu, które nie leżą na jednym boku wielokąta (przekątna wielokąta) lub na jednej ścianie wielościanu (przekątna wielościanu).

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Oznaczenia:

$a, b\$ – długości dłuższej i krótszej podstawy trapezu równoramiennego;

$c\$ – długość jego ramienia;

$h\$ – wysokość trapezu, czyli długość odcinka łączącego obie podstawy, prostopadłego do nich;

$\varphi\$ – kąt pomiędzy przekątnymi trapezu.

Wzór na pole powierzchni trapezu równoramiennego:

Wydawnictwo Naukowe PWN SA – polskie wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Jednostka dominująca grupy kapitałowej, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

Prostokąt - w planimetrii, czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku. Szczególnym przypadkiem prostokąta (o wszystkich bokach tej samej długości) jest kwadrat.

$S=\frac{(a+b) \cdot h}{2}=(c \cdot \operatorname{cos} {\varphi} + a) \cdot c \cdot \operatorname{sin} {\varphi}= \frac{a-b}{2}h + bh.$

Trapez (niebędący równoległobokiem) można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny. Wówczas sumy kątów przy danym ramieniu i sumy kątów przeciwległych są równe po 180°, co jest równoważne równości kątów przy danym ramieniu.

Trapez prostokątny jest to trapez, który posiada wewnętrzny kąt prosty $90^\circ\$ , przy czym, jak łatwo wykazać, jeżeli posiada jeden kąt prosty, to musi posiadać co najmniej dwa takie kąty. Szczególną odmianą trapezu prostokątnego (o wszystkich czterech kątach prostych) jest prostokąt.

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Trapezoid

Trapezoid

Trapezoid jest definiowany jako czworokąt, w którym żadna para boków nie jest równoległa, czyli czworokąt, który nie jest trapezem. Niektórzy żądają dodatkowo, żeby trapezoid był czworokątem wypukłym.

Zobacz też

twierdzenie Talesa

trójkąt równoramienny

trójkąt prostokątny

Przypisy

I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiendiajew: Matematyka Poradnik encyklopedyczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 212.
Słownik języka polskiego. PWN, 1981.
Słownik języka polskiego (online). PWN. [dostęp 09.01.2001].
Trapezoid. Wiem. [dostęp 2010-04-05].
Maria Kowalska, Marcin Kurczab: Repetytorium z matematyki dla uczniów gimnazjów i kandydatów do liceów. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, s. 138. ISBN 83-204-2441-0.
Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1997, s. 56.
Ewa Kowalik: Leksykon ucznia. Matematyka. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, s. 180. ISBN 83-204-2180-2.
Alicja Cewe, Halina Nahorska: Tablice matematyczne. Wydawnictwo Podkowa, s. 102. ISBN 978-83-88299-15-5.