Trend - statystyka - Polski Serwis Naukowy

Trend albo tendencja rozwojowa – monotoniczny składnik w modelu zależności badanej cechy statystycznej od czasu.

Niemonotoniczne zależności statystyczne od czasu nie muszą przybierać formy trendu. Wyróżnia się także np. sezonowość, dla której zależność jest okresowa.

Kierunek trendu

trend rosnący (wzrost wartości zmiennej w czasie)

trend malejący (spadek wartości zmiennej w czasie)

W praktycznych zastosowaniach statystyki (szczególnie w giełdowej analizie technicznej) wymienia się także:

Poziom istotności – jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (zazwyczaj oznaczane symbolem α). Określa tym samym maksymalne ryzyko błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować. Wybór wartości α zależy od badacza, natury problemu i od tego jak dokładnie chce on weryfikować swoje hipotezy, najczęściej przyjmuje się α = 0,05; rzadziej 0,1, 0,03, 0,01 lub 0,001. Wartość założonego poziomu istotności jest porównywana z wyliczoną z testu statystycznego p-wartością (czasem porównuje się od razu wartości statystyki testowej z wartością odpowiadającą danemu poziomowi istotności). Jeśli p-wartość jest większa, oznacza to, iż nie ma powodu do odrzucenia tzw. hipotezy zerowej H0 która zwykle stwierdza, że obserwowany efekt jest dziełem przypadku.

Współczynnik determinacji R – jedna z podstawowych miar jakości dopasowania modelu. Powiązany z tym współczynnikiem jest współczynnik zbieżności.

trend boczny – brak wyraźnego trendu malejącego lub rosnącego.

Modelowanie trendu

W modelu trendu wśród zmiennych objaśniających występuje zmienna czasowa t. Szereg czasowy jest przybliżany pewną monotoniczną ze względu na czas funkcją, zwaną funkcją trendu. Przy dobrze dobranym modelu różnice wartości oczekiwanych od wartości funkcji trendu powinny mieć wartość oczekiwaną zero.

Zmienna objaśniająca / egzogeniczna / zewnętrzna / predyktor – jest to zmienna w modelu statystycznym (czyli także np. w modelu ekonometrycznym), na podstawie której wylicza się zmienną objaśnianą (endogeniczną). Zmiennych objaśniających zwykle występuje wiele w jednym modelu.

Współczynnik zmienności resztowej informuje o tym, jaką część wartości średniej zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe składnika resztowego, czyli w jakim stopniu na zmienną objaśnianą mają wpływ czynniki losowe (przypadkowe). Zwykle wyrażany procentowo, wyznaczany za pomocą wzoru:

Zwykle używa się następujących funkcji trendu:

$y_t = a + bt\;$

$y_t = a b^t\;$

$y_t = a \ln t\;$

$y_t = a t^b\;$

Najczęstszym modelem trendu jest model z funkcją liniową.

W celu określenia jakości dopasowania funkcji trendu do danych rzeczywistych, należy określić parametry struktury stochastycznej do których należą:

odchylenie standardowe składnika losowego - informuje, o ile wartości empiryczne różnią się średnio od wartości teoretycznych, wyznaczonych na podstawie funkcji trendu.

współczynnik zmienności resztowej - określa, jaką cześć średniej arytmetycznej badanej zmiennej stanowi odchylenie standardowe składnika resztowego.

współczynnik zbieżności – informuje on, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez funkcję trendu. Przyjmuje on wartości z przedziału od 0 do 1. Im jest on bliższy zeru, tym lepsze dopasowanie funkcji do danych rzeczywistych.

współczynnik determinacji - określa, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez funkcję trendu. Przyjmuje on wartości z przedziału od 0 do 1. Im wartość współczynnika determinacji bliższa jedności, tym lepsze dopasowanie funkcji do danych rzeczywistych.

Do oceny jakości dopasowania zalicza się również standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych (czyli błąd szacunku a i b dla funkcji y=ax+b)

Dopasowanie modelu do danych empirycznych weryfikuje się poprzez weryfikację hipotezy o istotności współczynnika determinacji.

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu populacji - postaci funkcyjnej lub wartości parametru rozkładu. Proces sprawdzenia prawdziwości tego przypuszczenia na podstawie wyników próby losowej to weryfikacja hipotez statystycznych.

Testuje się hipotezę zerową postaci $H_0 : [R^2 = 0]\;$

przeciwko hipotezie alternatywnej $H_1 : [R^2 \ne 0]\;$

Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu F Snedecora

Hipotezę testujemy przy pomocy statystyki F - Snedecora o αk,(n – k + 1) stopniach swobody, gdzie k to ilość zmiennych objaśniających, n to ilość obserwacji.

Dla danego poziomu istotności γ (z reguły 0.05) wyznaczamy z tablic wartość krytyczną F* dla αk,(n – k + 1) stopni swobody. Jeśli F≤F* to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 , czyli przyjmujemy, że współczynnik determinacji jest nieistotnie różny od zera. Jeśli F>F* to odrzucamy hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1, współczynnik determinacji jest istotnie różny od zera.

Współczynnik determinacji R2 – jedna z podstawowych miar jakości dopasowania modelu. Powiązany z tym współczynnikiem jest współczynnik zbieżności.

Bibliografia

Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski: Statystyka od podstaw. Wyd. VI zmienione. Warszawa: Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, 2006. ISBN 83-208-1615-7.

M. Bianchi, M. Boyle, D. Hollingsworth: A comparison of methods for trend estimation. 1999, s. 103-109, seria: Applied Economics Letters.

C. Chatfield: Calculating Interval Forecasts. 1993, s. 121-135, seria: Journal of Business and Economic Statistics.

Pravin K. Trivedi, David M. Zimmer. Copula Modeling: An Introduction for Practitioners. „Foundations and Trends in Econometrics”. Volume 1 Issue 1 DOI:10.1561/0800000005.