Twierdzenie - Polski Serwis Naukowy

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Nauki ścisłe to inaczej nauki matematyczne i przyrodnicze, czyli grupa nauk, które zajmują się badaniem otaczającego świata oraz konstruowaniem abstrakcyjnych modeli, mogących służyć do tego opisu.

Implikacja logiczna (wynikanie) - relacja (lub w innym ujęciu symbol relacyjny) pomiędzy teoriami (zbiorami zdań logicznych) T i B spełniona, gdy każdy model teorii T jest także modelem teorii B. Często mylona z implikacją materialną, będącą szczególnym przypadkiem zdania.

Twierdzenie od sylogizmu, który posiada podobną strukturę zdaniową, odróżnia to, że teza twierdzenia nie wynika bezpośrednio z założeń i wymaga osobnego dowodu, w którym trzeba się odnieść do wcześniejszych twierdzeń przyjętych w ramach danej teorii. Sylogizmy wywiedzione z danego twierdzenia są z kolei często nazywane wnioskami z twierdzenia. Czasami nazywa się je także twierdzeniami trywialnymi.

Twierdzenie odwrotne – dla danego twierdzenia twierdzenie w którym założenie zamieniono z tezą wyjściowego twierdzenia. Niech będzie dane twierdzenie: jeśli A, to B; wtedy twierdzenie odwrotne do niego jest zdaniem jeśli B, to A. Twierdzenie odwrotne do danego prawdziwego twierdzenia nie musi być zdaniem prawdziwym. Twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu.

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.

Nie wszystkie twierdzenia przyjęte za prawdziwe w danej teorii posiadają dowód. Część z nich ma charakter twierdzeń pierwotnych, które z natury rzeczy nie mogą być dowiedzione. Takie twierdzenia nazywane są aksjomatami. Inne z kolei twierdzenia są przyjęte w pewnym sensie "na wiarę", gdyż mimo braku dowodu wydają się być prawdziwe we wszystkich znanych przypadkach. Kurt Gödel dowiódł, że w ramach każdej wystarczająco złożonej teorii składającej się z pojęć pierwotnych i aksjomatów występuje zawsze pewien zbiór twierdzeń, które są prawdziwe, ale nie można ich w ramach danej teorii dowieść. Dodajmy, że "wystarczająco złożonej" oznacza tu zwykle "wystarczającej do zapisania pełnej arytmetyki liczb naturalnych". Jest to tzw. twierdzenie Gödla.

Twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia T (ang. contrary theorem) to zdanie stwierdzające, że zaprzeczenie założenia tego twierdzenia pociąga za sobą zaprzeczenie jego tezy. Twierdzeniem przeciwnym do twierdzenia jeśli A, to B jest zdanie jeśli nieprawda, że A, to nieprawda, że B. Twierdzenie przeciwne jest równoważne twierdzeniu odwrotnemu i, podobnie jak to ostatnie, nie musi być prawdziwe wraz z twierdzeniem T.

Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Inne bardzo ważne twierdzenia Gödla to: twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna).

Dla uproszczenia część twierdzeń jest podawana w formie jednego zdania złożonego, jednak odróżnienie takiego zdania od zdań trywialnych jest możliwe poprzez rozwinięcie ich do pełnej postaci twierdzenia. Rozważmy dla przykładu następujące twierdzenie sformułowane w postaci jednego zdania: "jeżeli liczba naturalna m jest podzielna przez sześć, to jest ona podzielna przez trzy". To samo twierdzenie z rozbiciem na założenia i tezę wyglądałoby następująco:

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

założenie - dla każdego m należącego do zbioru liczb naturalnych i podzielnego przez sześć,

teza - m jest podzielne przez trzy.

W założeniach twierdzenia bardzo często występują kwantyfikatory, czyli określenia postaci "dla każdego z danych elementów zbioru ..." lub "istnieje taki element zbioru, że ...", jednak znane są także twierdzenia, które da się sformułować bez kwantyfikatorów, stąd występowanie ich nie jest koniecznym warunkiem przyjęcia danej wypowiedzi za twierdzenie.

Sylogizm (z gr. συλλογισμός – konkluzja, wniosek) jest to wnioskowanie o dwóch przesłankach, przy czym obie przesłanki zawierają wspólny element, a każdy element wniosku zawarty jest w dokładnie jednej przesłance.

Sąd w sensie logicznym - znaczenie zdania w sensie logicznym. Ten sam sąd odpowiada różnym zdaniom mającym to samo znaczenie logiczne (np. zdaniom wypowiedzianym w różnych językach). Od sądów w sensie logicznym odróżnia się sądy w sensie psychologicznym, stanowiące przeżycia odpowiadające sądom w sensie logicznym. Sądy w sensie logicznym można też określić odmiennie - nie jako znaczenia zdań wyrażające pewne przeżycia, ale jako to, co wspólne pewnym klasom sądów w sensie psychologicznym.

Zobacz też

automatyczne dowodzenie twierdzeń

twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia

twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia

twierdzenie przeciwstawne do danego twierdzenia

Linki zewnętrzne

"Jakie twierdzenia matematyczne są ważne?" (Delta, 1/1983)

Nierozwiązane problemy i zagadnienia matematyczne - Obszerny artykuł o twierdzeniach matematycznych