Twierdzenie Gelfonda-Schneidera - Polski Serwis Naukowy

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

Aleksander Osipowicz Gelfond, ros. Александр Осипович Гельфонд (ur. 24 października 1906 w Sankt Petersburgu, zm. 7 listopada 1968 w Moskwie) – rosyjski matematyk, autor twierdzenia Gelfonda, które częściowo rozwiązywało 7. problem Hilberta.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Twierdzenie

Jeżeli $\alpha\ (\alpha\neq 0,\ \alpha\neq 1)$ i $\beta$ są liczbami algebraicznymi, $\beta$ nie jest liczbą wymierną, to każda wartość $\alpha^{\beta}$ jest liczbą przestępną.

Uwagi

$\alpha$ i $\beta$ nie muszą być liczbami rzeczywistymi - w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.

W ogólności $\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}$ , gdzie "log" oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot "każda wartość".

Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:

jeżeli $\alpha,\ (\alpha\neq 0,\ \alpha\neq 1)$ oraz $\gamma$ są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to $(\log \gamma)/(\log \alpha)$ jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.

Pominięcie wymogu, by $\beta$ było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. $\alpha=3$ i $\beta=\log 2/\log 3$ (jest to liczba przestępna), to $\alpha^{\beta}=2$ jest liczbą algebraiczną. Pełen opis wartości tych $\alpha$ i $\beta$ , dla których $\alpha^{\beta}$ jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Problemy Hilberta to lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku.

Stała Gelfonda-Schneidera: $2^{\sqrt{2}}$ oraz liczba $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ .

Stała Gelfonda: $e^{\pi} = \exp\{-i\,\log (-1)\}$ jest jedną z wartości $(-1)^{-i}$ .

Zobacz też

dowód niekonstruktywny

twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa

hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy