Twierdzenie Pascala - Polski Serwis Naukowy

Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise'a Pascala w wieku 16 lat.

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Twierdzenie

Niech dane będzie sześć punktów $A1, A2, A3, A4, A5, A6$ leżących na krzywej stożkowej, zaś $B1, B2, B3$ oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych $A1A2$ oraz $A4A5$ , $A1A6$ oraz $A3A4$ , $A2A3$ oraz $A5A6$ . Wówczas punkty $B1, B2, B3$ są współliniowe.

Przekształcenie rzutowe (również transformacja rzutowa) - w geometrii rzutowej jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń rzutową na siebie i zachowująca współliniowość punktów.

Geometria afiniczna - jedna z możliwych geometrii. Podstawową figurą geometryczną w tej geometrii jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych a podstawowym odwzorowaniem tzw. odwzorowanie afiniczne. Treścią tej teorii jest m.in. badanie własności figur geometrycznych niezmienniczych ze względu na grupę tych przekształceń. Tutaj bowiem obok podobieństw (przesunięć, obrotów i jednokładności) dochodzą jeszcze rozciąganie i zgniatanie wzdłuż jakiejś prostej. Te ostatnie deformacje mogą być efektem np. rzutowań równoległych. W ujęciu F. Kleina geometria afiniczna jest pewną grupą odwzorowań pośrednią między grupą podobieństw a grupą przekształceń rzutowych.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

Uwagi

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

Uogólnienia

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Zasada dualności w geometrii rzutowej mówi, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej jest równoważne twierdzeniu które otrzymamy, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na"). Na przykład, gdy mamy twierdzenie mówiące o współliniowości kilku punktów, istnieje dualne do niego twierdzenie o współpękowości odpowiednich kilku prostych.

Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.

Niech dane będzie dla wielokąta o $\scriptstyle 4n + 2$ bokach wpisanego w krzywą stożkową $\scriptstyle 2n + 1$ punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli $\scriptstyle 2n$ z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.

Przypisy

Jacques Attali Pascal, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 2004, ISBN 83-06-02935-6, s. 53