Twierdzenie Poyntinga - Polski Serwis Naukowy

Twierdzenie Poyntinga sformułował John Henry Poynting badając bilans pola elektromagnetycznego prądów zmiennych, będące wynikiem zasady zachowania energii dla pola elektromagnetycznego.

Całkowita moc pola elektromagnetycznego wykonanym nad ładunkiem przez siły Lorentza (właściwie przez pole elektryczne - pole magnetyczne nie wykonuje pracy) jest równa: ${{dW}\over{dt}}=\int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}_{sw}\right)dV$

gdzie:

John Henry Poynting (1852-1914) - brytyjski fizyk. Wyznaczył stałą grawitacji oraz średnią gęstość Ziemi. Podał wzór na gęstość strumienia energii przenoszonego przez pole elektromagnetyczne (wzór Poyntinga) Podał również wzór na wektor określający strumień energii przenoszonej przez pole elektromagnetyczne (tzw. wektor Poyntinga). Był profesorem Mason College w Birmingham oraz członkiem Royal Society w Londynie.

$\vec{E}$ - jest to wektor natężenia pola elektrycznego, $\vec{J}_{sw}$ - jest to wektor gęstości prądu elektrycznego swobodnego. ${{dW}\over{dt}}$ - jest to moc wykonana nad ładunkiem w polu elektromagnetycznym, która jest zmianą energii mechanicznej na jednostkę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła.

Korzystając z praw elektrodynamiki klasycznej Maxwella, ostatnie wyrażenie można rozpisać w postaci: ${{dW}\over{dt}}=-{{d}\over{dt}}\int_v{{1}\over{2}}\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)dV-\oint_A\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)d\vec{A}$

Oznaczmy gęstość energii pola elektromagnetycznego w danym punkcie: $u_{em}={{1}\over{2}}\left(\vec{H}\vec{B}+\vec{E}\vec{D}\right)$ ,

Mając już zdefiniowaną gęstość energii pola elektromagnetycznego w danym punkcie i korzystając z definicji wektora Poyntinga i znanego z matematyki twierdzenia Gaussa, mamy : ${{dW}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\int_V u_{em}dV-\int_V\nabla\cdot\vec{S}dV=\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{em}dV-\int_V\nabla\cdot\vec{S}dV$ ,

gdzie oznaczono jako: $u_{em}$ - jest to gęstość energii mechanicznej.

Zatem wzór na moc wykonaną nad ładunkiem przez siły Lorentza, powodując zmianę energii mechanicznej ciała, wtedy z definicji mocy układu mechanicznego jest równa: ${{dW}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\int_V u_{mech}dV=\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{mech}dV$

A zatem nasze równanie przyjmuje postać: $\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{mech}dV=\int_V {{\partial}\over{\partial t}}u_{em}dV-\int_V\left(\nabla\vec{S}\right)dV$

gdzie: $u_{mech}$ , jest to gęstość energii mechanicznej układu w danym punkcie.

Po krótkich przegrupowaniach wyrazów w ostatnim równaniu, mamy zatem: $\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int_V\left(\nabla\cdot\vec{S}\right)dV$

Ponieważ ostatnie równanie jest słuszne dla dowolnej objętości V, zatem otrzymujemy: ${{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)=-\nabla\cdot\vec{S}$

Ostatnie równanie stanowi treść twierdzenie Poytinga dla elektromagnetyzmy w ośrodku. Gdy mamy do czynienia z magnetostatyką lub elektrostatyką, to wektor Poytinga jest równy zero, lub $\vec{E}||\vec{H}$

Widzimy, że pole elektromagnetyczne ma również energię o wartości: $E=\int_V\vec{u}_{em}dV$ .

Oczywiste jest, że zmiana gęstości energii mechanicznej i pola elektromagnetycznego, zależy od dywergencji wektora Poyntinga, który stanowi jakoby gęstość pracy sił wykonaną nad polem elektromagnetycznym i układem mechanicznym.

Literatura

Dawid J. Grifftiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006