Twierdzenie Stokesa - Polski Serwis Naukowy

George Gabriel Stokes (1819-1903)

Twierdzenie Stokesa – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Teoria pola (fizyka), dział fizyki wypracowujący metody badania oraz badajaca pola fizyczne, czyli obszary w których występują zjawiska fizyczne. Fizycy matematyzując problem opisują te zjawiska poprzez przypisanie każdemu punktowi przestrzeni matematycznego obiektu, co odpowiada określeniu pewnej funkcji na przestrzeni, w której występuje pole.

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla n-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że $H\subseteq \mathbb{R}^N$ jest orientowalną powierzchnią gładką, $K\subseteq H$ jest zbiorem zwartym oraz $K=\mbox{cl Int}K$ oraz, że brzeg $\mbox{Fr}K$ jest (M-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli $W\subseteq \mathbb{R}^N$ jest zbiorem otwarym zawierającym powierzchnię $H$ , $\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ jest formą klasy $C^1$ , a $\sigma$ jest orientacją powierzchni $H$ , to $\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega$ ,

gdzie orientacja $\sigma^{\rm{Fr}}$ powierzchni $\mbox{Fr}K$ dana jest wzorem

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13 sierpnia 1819 w Skreen w hrabstwie Sligo w Irlandii, zm. 1 lutego 1903 w Cambridge w Anglii) – irlandzki matematyk i fizyk, powiązany z Uniwersytetem Cambridge. Zajmował się między innymi dynamiką płynów (równania Naviera-Stokesa), optyką, fizyką matematyczną (twierdzenie Stokesa). W 1889 został mu nadany tytuł baroneta. Był sekretarzem, a następnie w latach 1885-1890 prezydentem Royal Society.

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej sformułowane przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

$\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}$

dla $y\in \mbox{Fr}K$ , a $z\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^N$

jest taką funkcją, że $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru $K$ w punkcie $y$ , $|z(y)|=1$ , $z(y)$ jest wektorem normalnym do powierzchni $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$ dla każdego $y\in \mbox{Fr}K$ .

Wnioski

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb{R}^N$ jest zbiorem otwartym, $K\subseteq W$ takim zbiorem zwartym, że $K=\mbox{cl Int}K$ , brzeg $\mbox{Fr}K$ jest (N-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz $z\colon \mbox{Fr}K\to\mathbb{R}^N$

jest funkcją o własnościach

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.

$z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do $K$ w punkcie $y$ ,

$|z(y)|=1$ ,

$z(y)$ jest wektorem normalnym do $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$ leżącym na brzegu $\mbox{Fr}K$ .

Jeżeli $\omega\colon W\to\mathbb{R}^N$ jest funkcją klasy $C^1$ , to $\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\mbox{div} \omega(y)dy$ ,

gdzie $\mbox{div}$ oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna

Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb{R}^2$ jest zbiorem otwartym, $K\subset W$ jest zbiorem zwartym takim, że $K=\mbox{cl Int}K$ oraz brzeg $\mbox{Fr}K$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto $s\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^2$

jest funkcją o własnościach

$s(y)$ jest wektorem stycznym do krzywej $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$

$|s(y)|=1$

$\det[z(y), s(y)]>0$ , gdzie

$z(y)$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy $N=2$ ). Jeżeli $\omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2$ jest funkcją klasy $C^1$ , to $\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy$ .