Twierdzenie o związku spinu ze statystyką

Związek spinu ze statystyką – grupa obrotów posiada w przestrzeni trójwymiarowej dwa rodzaje reprezentacji: reprezentacje proste oraz reprezentacje nakrywające. Jeżeli funkcja falowa cząstki transformuje się podczas obrotów zgodnie z regułami reprezentacji prostych, to jest ona bozonem. Bozony mają spin o wartościach całkowitych. Drugą grupę stanowią cząstki, których funkcja falowa transformuje się zgodnie z regułami reprezentacji nakrywającej; nazywamy je fermionami, zaś ich spin przyjmuje wartości będące liczbami ułamkowymi (1/2, 3/2 itp). Dla innych wymiarów przestrzeni (np. w dwóch wymiarach) możliwe są także reprezentacje grupy obrotów o bardziej skomplikowanych własnościach, i tym samym podział na bozony i fermiony może nie być właściwy.

Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

W kwantowej teorii pola istnieje ogólne twierdzenie o związku między spinem a statystyką. Twierdzenie to wynika z podstawowego postulatu przyczynowości zjawisk fizycznych. Twierdzenie to jest prawdziwe w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jeżeli układ fizyczny realizowany jest w przestrzeni mniej wymiarowej (np. gaz elektronowy mający zdolność ruchu tylko w płaszczyźnie) to związek ten nie musi obowiązywać (anyony, kwantowy efekt Halla).

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

Postulat o związku spinu ze statystyką dla cząstek nierozróżnialnych – Funkcja falowa układu cząstek nierozróżnialnych o spinie połówkowym (tzn. 1/2, 3/2 itd) musi być antysymetryczna względem zamiany współrzędnych przestrzennych i spinowych dowolnej pary cząstek.

Analogicznie → dla cząstek o spinie całkowitym (tzn. 0,1,2 itd) musi być symetryczna.

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Wynika stąd, że dwa fermiony (cząstki o spinie połówkowym) nie mogą być w tym samym stanie kwantowym (Zakaz Pauliego).