Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy'ego. Zapoznaj się również z: inne twierdzenia Cauchy'ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy'ego który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Biblioteka Wirtualna Nauki – jedna z pierwszych w Polsce bibliotek cyfrowych. Jest to system udostępniania naukowych baz danych przez Internet, prowadzony przez Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytetu Warszawskiego.

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Czasami twierdzenie to jest nazywane twierdzeniem Cauchy'ego o całce krzywoliniowej albo twierdzeniem całkowym Cauchy'ego.

Twierdzenie

Przypuśćmy, że $D\subseteq {\mathbb C}$ jest obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ${\mathbb C}$ ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą $C$ . Niech $f:U\longrightarrow {\mathbb C}$ będzie funkcją analityczną na obszarze $U$ , takim że $D\cup C\subseteq U$ . Wówczas $\int_C f(z)\; dz=0$

Wnioski

Jeśli funkcja $f(z)$ jest analityczna w obszarze jednospójnym $D$ oraz $a,b\in D$ , to dla każdych kawałkami gładkich krzywych $C_1,C_2$ łączących $a$ z $b$ mamy

$\int_{C_1} f(z)\; dz=\int_{C_2} f(z)\; dz$ .

Zatem możemy zdefiniować całkę

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Franciszek Leja (ur. 27 stycznia 1885 w Grodzisku Górnym, zm. 11 października 1979 w Krakowie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli krakowskiej szkoły matematycznej.

$\int_a^b f(z)\; dz$

(tzn nie zależy ona od drogi całkowania).

Dla $D,f,a$ jak powyżej określmy funkcję $\Phi:D\longrightarrow {\mathbb C}$ przez

$\Phi(z)=\int_a^z f(\zeta)\;d\zeta$ .

Wówczas funkcja $\Phi$ jest analityczna oraz $\Phi'(z)=f(z)$

Niech $f(z)$ będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym $D$ z wyjątkiem punktów $z_{1}, z_{2}, ... , z_{n}$ oraz niech $C \subset D$ będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty $z_{1}, z_{2}, ... , z_{n}$ (tzn punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią $r>0$ , taką że okręgi $K(z_i,r)$ o środku w $z_i$ i promieniu r (dla $i=1,\ldots,n$ ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

$\oint\limits_{C^{+}} f(z)dz= \sum_{i=1}^n \oint\limits_{K(z_{i},r)} f(z)dz$

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogłaby rozgałęziać się i przerywać.

Augustin Louis Cauchy (ur. 21 sierpnia 1789 w Paryżu, zm. 23 maja 1857 w Sceaux pod Paryżem) – francuski matematyk. Zapoczątkował projekt postulujący i przedkładający dowody twierdzeń analizy matematycznej w ścisłej formalnej postaci. Zawdzięczamy mu również kilka ważnych twierdzeń analizy zespolonej oraz zapoczątkowanie studiów nad grupami permutacyjnymi. Swą dogłębnością oraz precyzją Cauchy wywarł wielki wpływ na metodologię pracy ówczesnych matematyków oraz ich nowoczesnych następców. Jego publikacje obejmują w pełni ówczesną matematykę oraz fizykę matematyczną.

Źródła

Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976, s. 89-95.

Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 105-108, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.

Zobacz też

wzór całkowy Cauchy'ego

twierdzenie o residuach