Ułamek - Polski Serwis Naukowy

Ułamek – wyrażenie postaci $\tfrac{a}{b}$ , gdzie $a$ , nazywane licznikiem, oraz $b$ , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera. Iloraz $\tfrac{a}{0}$ jest bowiem nieokreślony.

Istnieją także ułamki niewłaściwe, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. $\tfrac{4}{2}$ lub $\tfrac{5}{5}$ .

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).
Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. $1 + \tfrac{2}{3}$ staje się $1\tfrac{2}{3}$

Unicode (zwany czasem po polsku Unikod) – komputerowy zestaw znaków mający w zamierzeniu obejmować wszystkie pisma używane na świecie. Definiują go dwa standardy – Unicode oraz ISO 10646. Znaki obu standardów są identyczne. Standardy te różnią się w drobnych kwestiach, m.in. Unicode określa sposób składu.
Dziedzina całkowitości (krótko dziedzina lub pierścień całkowity) – niezerowy pierścień przemienny z jedynką i bez właściwych dzielników zera.

Działania na ułamkach

Dla każdego $c \ne 0\;$ ułamek $\tfrac{a}{b}$ jest równy $\tfrac{ac}{bc}$ . Operację zamiany $\tfrac{a}{b}$ na $\tfrac{ac}{bc}$ nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ , na przykład: $\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}$ $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ .

Przedstawienie liczby $k\;$ w postaci ułamka $\tfrac{k}{1}$ prowadzi do wzorów: $\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}$ , $\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}$ .

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.
Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru X przypisuje określony element pewnego zbioru Y.

$\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$ .

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$ .

Liczba $bd\;$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $b\;$ i $d\;$ .

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.
Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)