Układ dynamiczny - Polski Serwis Naukowy

Układ dynamiczny, model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania.

Układ statyczny (układ bezinercyjny) - w przeciwieństwie do układu dynamicznego jest układem, w którym nie można wyróżnić żadnych zmiennych stanu.

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Układ z pamięcią - zachowanie układu zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie (pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

$X$ - zbiór z pewną strukturą różniczkowalną

$(T_t)$ - rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek $T_t{\circ}T_s=T_{t+s}$

Topologiczne (dziedzina - dynamika topologiczna)

Niech $\mathbf{X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $\varphi:\mathbf{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbf{X}$ niech będzie odwzorowaniem. Parę $\left(\mathbf{X},\varphi\right)$ nazywamy układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich $x\in\mathbf{X}$ oraz $t,s\in\mathbb{R}$ zachodzą warunki: $\varphi(x,0)=x\;$ , $\varphi(\varphi(x,t),s)=\varphi(x,t+s)\;$

oraz $\varphi$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretecja tej definicji może być nastepująca:

Przestrzeń $\mathbf{X}$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ reprezentuje oś czasu. Punkt $\varphi(x,t)\;$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu $t\,$ , jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili $t=0\,$ w stanie $x\,$ . Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe (dziedzina - teoria ergodyczna)

$(X,\mathcal{F}, \mu)$ - przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), $T\colon X\to X$ - odwzorowanie mierzalne o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. $\mu(B)=\mu(T^{-1}B)\;$ dla $B\in \mathcal{F}$ .

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza oraz przesunięcie w lewo dla układu Bernoulliego, albo np. $Tx=2x \mod 1$ dla $x \in X=[0, 1]$ .

Przypisy

Układy dynamiczne. Strona Tomasz Downarowicz
Hiroshi H. Hasagawa and William C. Saphir, "Unitarity and irreversibility in chaotic systems", Physical Review A, 46, p7401 (1992)
Ronald J. Fox, "Construction of the Jordan basis for the Baker map", Chaos, 7 p 254 (1997)
Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Exposition of the eigenfunctions the Baker's map).
Friedrich L. Bauer, Sekrety kryptografii, Helion, 2003, ISBN 83-7197-960-6.
B. Schweizer and A. Sklar, Foundations of Physics, Vol. 20, No. 7, 1990, s. 873

Zobacz też

układ statyczny