Układ równań - Polski Serwis Naukowy

Układ równań – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań.

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy jest to rozwiązaniem układu równań część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Wzory Cramera – opublikowane w 1750 przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera wzory podające rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi.

Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układ równań liniowych to układ równań, w którym występuje dowolna liczba równań liniowych i jednocześnie nie występują w nim żadne równania wyższego rzędu.

Równanie – forma zdaniowa postaci t1 = t2, gdzie t1,t2 są termami i przynajmniej jeden z nich zawiera pewną zmienną. Równanie jest więc formułą atomową z co najmniej jedną zmienną wolną. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np. 0, czyli gdy jest postaci t1 = 0.

Układy równań liniowych

Osobny artykuł: układ równań liniowych.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),

przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),

wzory Cramera,

metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Przypisy

F. P. Sayer. Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations. „IMA Journal of Numerical Analysis”. 1983 3(3):333-340; doi:10.1093/imanum/3.3.333. [dostęp 6 stycznia 2009].