Układ współrzędnych - Polski Serwis Naukowy

Prawoskrętny układ współrzędnych

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Z definicji funkcji takie przyporządkowanie pozwala jednoznacznie określić punkt na podstawie znajomości jego współrzędnych, jednak bywa, że danemu punktowi odpowiadać może kilka współrzędnych. Formalnie jest więc to funkcja z pewnego podzbioru $\mathbb R^n$ na daną przestrzeń.

Wymiar przestrzeni

W przypadku rozmaitości topologicznych (te są najciekawsze z punktu widzenia matematyki) liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi rozmaitości.

Układ współrzędnych astronomicznych – sferyczny układ współrzędnych stosowanym w astronomii. Umożliwia on jednoznaczne określenie położenia jakiegoś obiektu na sferze niebieskiej przez podanie jego współrzędnych. Zdefiniowanie układu sprowadza się do ustalenia podstawowego koła wielkiego oraz ustalenia punktu na tym kole, od którego liczy się pierwszą współrzędną. Oś układu (tj. prosta prostopadła do koła podstawowego) przecina sferę niebieską w punktach nazwanych biegunami, natomiast południk przechodzący przez punkt początkowy jest nazwany południkiem początkowym.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Przykładem przestrzeni jednowymiarowej jest prosta. Do określenia położenia na prostej wystarczy wskazać pewien punkt (początek układu) oraz określić, po której stronie tego punktu odkładane będą liczby dodatnie, a po której ujemne. Tak zorientowaną prostą nazywamy osią liczbową.

Układ współrzędnych supergalaktycznych – układ współrzędnych astronomicznych, którego koło podstawowe (równik) leży w płaszczyźnie supergalaktycznej (SGP), w której układają się pobliskie gromady galaktyk (Gromada w Pannie, Wielki Atraktor czy Supegromada Perseusz-Ryby). Płaszczyzna supergalaktyczna została wprowadzona przez Gérarda de Vaucouleursa w 1953, choć tak specyficzny rozkład "mgławic" został dostrzeżony już przez Williama Herschela ponad dwa wieki wcześniej. Również de Vaucouleurs jako pierwszy formalnie zdefiniował współrzędne supergalaktyczne.

Układ współrzędnych równikowych – to układ współrzędnych astronomicznych, którego kołem podstawowym jest równik niebieski. W zależności od tego, jaki punkt jest punktem początkowym układu, wyróżniamy:

Uogólnienia

W matematyce rozważa się przestrzenie o większej liczbie wymiarów, a także przestrzenie nieskończeniewymiarowe. Można stosować także układ współrzędnych prostoliniowych, w którym osie nie są prostopadłe, lub układ współrzędnych krzywoliniowych, w którym osie są krzywymi, które nie są liniami prostymi.

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Układ współrzędnych horyzontalnych – układ współrzędnych astronomicznych, w którym oś główną stanowi lokalny kierunek pionu, a płaszczyzną podstawową jest płaszczyzna horyzontu astronomicznego. Biegunami układu są zenit i nadir, których położenie na sferze niebieskiej ściśle zależy od współrzędnych geograficznych obserwatora oraz szybko zmienia się wraz z upływem czasu, tak więc współrzędne horyzontalne opisują jedynie chwilowe położenie ciała niebieskiego.

W ogólności, poszczególne współrzędne nie muszą być liczbami rzeczywistymi – rozważa się również współrzędne zespolone lub należące do dowolnego ciała.