Układ współrzędnych kartezjańskich

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 r. w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 r. w Sztokholmie) – francuski matematyk, filozof i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Odcięta (łac. abscissa) - pierwsza współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem x, a jej oś symbolem OX.

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą $O$ lub cyfrą $0$ .

zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:

$X$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),

$Y$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Rzędna (łac. ordinata) - druga współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem y, a jej oś symbolem OY.

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu $P$ :

Tworzymy rzut prostokątny punktu $P$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez $P$ i prostopadłą do k-tej osi a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
Wartość w uzyskanym punkcie osi jest k-tą współrzędną $P$ .

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

Rzut prostokątny na płaszczyznę – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z płaszczyzną. Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego.

Reguła prawej dłoni jest konwencją określania względnych zwrotów pewnych wektorów w przestrzeni. Istnieją dwie ściśle związane ze sobą reguły prawej ręki.

$x$ – odcięta, łac. abscissa,

$y$ – rzędna, łac. ordinata,

$z$ – kota, łac. applicata.

Właśnie ze sposobu wyznaczania współrzędnych punktu (poprzez rzut prostokątny) kartezjański układ współrzędnych zyskał również nazwę prostokątnego układu współrzędnych używanego przede wszystkim w szkołach.

Kota (łac. applicata) trzecia współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem z, a jej oś symbolem OZ.

Reguła śruby prawoskrętnej (reguła korkociągu) – w fizyce reguła określająca umowny zwrot wektorów związanych z ruchem obrotowym. W matematyce służy do ustalenia zwrotu wektora na osi OZ w kartezjańskim układzie współrzędnych, szczególnie w przypadku obrazowania przestrzeni trójwymiarowej na powierzchni. Reguła ta jest stosowana przy ustalaniu kierunku iloczynu wektorowego, który jest wektorem utożsamianym ze śrubą. Gdy mnożymy wektory a przez b, przekręcamy śrubę w takim kierunku, jakbyśmy kładli wektor a na b po mniejszym kącie.

Ćwiartki i oktanty

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery nieskończone obszary nazywane ćwiartkami, z których każdy ograniczony jest dwoma półosiami. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza liczbami rzymskimi: I (+,+), II (−,+), III (−,−) oraz IV (+,−), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Jeżeli osie kreślone są zgodnie ze zwyczajem matematycznym, to numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową.

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem obszarów nazywanych czasami oktantami, zgodnie ze znakami współrzędnych punktów. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie nazywany jest niekiedy pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej nomenklatury dotyczącej pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywa się ortantem.

Łacina (łac. lingua Latina, język łaciński) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym. Łacina była językiem ojczystym Rzymian. Stała się z czasem językiem urzędowym całego Imperium Rzymskiego, wypierając inne wcześniej używane na tym obszarze języki (takie jak oskijski czy umbryjski).

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi $OX$ do $OY$ , to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $OZ$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

algorytm Hirvonena

przestrzeń kartezjańska

układ współrzędnych