Węzeł - teoria węzłów - Polski Serwis Naukowy

Definicja intuicyjna:
Od zwykłych węzłów znanych z codziennego życia węzły „matematyczne“ różnią się tym, że „sznurek” jest nieskończenie cienki, rozciągliwy i pozbawiony tarcia, a jego końcówki są połączone ze sobą.

Tablica węzłów pierwszych z nie więcej niż siedmioma skrzyżowaniami (nie licząc odbić lustrzanych).

Węzeł (ang. knot) w matematycznej teorii węzłów, będącej działem topologii, to dowolna krzywa zwykła zamknięta zanurzona w R.

Dwa węzły K i L są równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm przestrzeni $\mathbb{R}^3$ na siebie, przekształcający jeden węzeł w drugi, tj. istnieje taki homeomorfizm

Suma spójna – w matematyce konstrukcja topologiczna, w której jedna przestrzeń topologiczna jest przyklejana do drugiej za pomocą przekształcenia ciągłego; z tego powodu wynik nazywa się sklejeniem bądź przestrzenią sklejoną.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

$h\colon \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ ,

że $h(K)=L\,$ .

Rozważany wyżej homeomorfizm należy odróżnić od homeomorfizmu między węzłami. Każdy węzeł, jako krzywa zwykła zamknięta, jest homeomorficzny z okręgiem a przez to z każdym innym węzłem. Własność zawęźlenia nie jest więc wewnętrzną własnością węzła, ale charakteryzuje sposób w jaki krzywa ta leży w przestrzeni trójwymiarowej.

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników w rozkładzie na czynniki pierwsze lub, równoważnie, ich największym wspólnym dzielnikiem jest jedność; te, w których żadna para nie ma wspólnych dzielników w rozkładzie poza jedynką lub, równoważnie, których największy wspólny dzielnik dla dowolnej pary wynosi jeden, nazywa się parami względnie pierwszymi.

Niezmiennik topologiczny to wielkość występująca w topologii i fizyce teoretycznej, liczba charakteryzująca rozmaitości topologiczne. Jest to wielkość, która pozostaje stała przy wszystkich dopuszczalnych topologicznie, a więc ciągłych, przekształceniach. Na przykład, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg (czyli okręgu w samego siebie, porównaj homeomorfizm) to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na tak zwana liczbę nawinięć. Jest to liczbę mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych (porównaj homotopia, klasy homotopii).

Węzeł trywialny to węzeł równoważny z okręgiem. Intuicyjnie: dwa węzły są równoważne, jeśli można je przekształcić jeden w drugi przez manipulacje sznurkiem bez rozcinania go i sklejania. Najprostsze przykłady nietrywialnych węzłów to Trójlistnik (nr 31 w tablicy), Ósemka (41) i Pięciolistnik (nr 51)

Algorytm – w matematyce oraz informatyce skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Słowo "algorytm" pochodzi od starego angielskiego słowa algorism, oznaczającego wykonywanie działań przy pomocy liczb arabskich (w odróżnieniu od abacism - przy pomocy abakusa), które z kolei wzięło się od nazwiska, które nosił Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي), matematyk perski z IX wieku.

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Klasyfikacja węzłów polega na znajdowaniu niezmienników, które zachowywałyby się przy przekształceniach węzła, np. J.V. Alexander stworzył algorytm przyporządkowujący każdemu węzłowi wielomian. Dwa węzły o różnych wielomianach są na pewno różne, jednak zdarzają się dwa różne węzły o tym samym wielomianie.

Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogłaby rozgałęziać się i przerywać.

Rodzaje węzłów

Węzeł dziki

Kilka węzłów splecionych ze sobą nazywanych jest splotem. Węzeł to splot o jednej składowej.

Węzeł poskromiony (ang. tame knot) to taki który da się przedstawić w postaci skończonej, zwyczajnej i zamkniętej łamanej w $R^3$ . Pozostałe węzły nazywane są dzikimi. (ang. wild knot).

Węzeł pierwszy (ang. prime knot) to taki nietrywialny węzeł który nie jest sumą spójną dwóch nietrywialnych węzłów.

Zanurzenie – w matematyce oznacza odwzorowanie jednego obiektu w inny obiekt w taki sposób, że wszystkie istotne własności obiektu "zanurzanego" zostają zachowane.

Węzeł boromejski – węzeł złożony z trzech (lub czasem większej liczby) pierścieni połączonych w ten sposób, że usunięcie dowolnego spowoduje rozpad pozostałych.

Węzeł torusowy (p, q) (ang. torus knot) to węzeł powstały przez owinięcie sznurka wokół torusa p razy w jednym kierunku i q w drugim. Gdzie p i q są naturalnymi liczbami względnie pierwszymi. Najprostszym przykładem jest Trójlistnik czyli węzeł torusowy (3, 2).

Przypisy

Siegfried Moran: The mathematical theory of knots and braids: an introduction. Elsevier, 1983, s. 64. ISBN 0444867147, 9780444867148.

Zobacz też

Zobacz hasło węzeł w Wikisłowniku

splot

składanie węzłów

topologia

węzeł boromejski

Linki zewnętrzne

Knot Atlas