Wahadło - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zapoznaj się również z: Wahadło (narzędzie tortur).

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.

Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.

Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

Wahadło, nazywane też strappado, było bolesną torturą nie powodującą uszkodzeń skóry, za to zrywającą mięśnie i więzadła. Zaczynano ją od związania rąk ofiary z tyłu, przez pęta przewiązywano linę, którą przeciągano przez przymocowany do sufitu hak. Często do stóp przymocowywano ciężary, jako dodatkowe obciążenie. Gdy kat pociągnął wolny koniec liny, ręce torturowanego zaczynały wyginać się w stronę pleców. Czynił to powoli, co potęgowało ból. Po pewnym czasie, coraz mocniejszego podciągania, kości wyskakiwały ze stawów, czasem nawet pękały i zostawały zerwane ścięgna. Wtedy ręce ofiary znajdowały się równolegle do głowy.

Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

matematyczne

fizyczne

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

Analiza ruchu wahadła

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

Wahadło zegarowe – wahadło fizyczne stosowane w zegarach jako element odmierzający jednakowe odcinki czasu. Wykonuje ruch drgający z częstotliwością bardzo bliską swojej częstotliwości rezonansowej; z punktu widzenia fizyki stanowi realizację oscylatora harmonicznego wymuszonego z siłą wymuszającą przenoszoną przez koło wychwytowe za pośrednictwem wychwytu. Regulacja okresu wahadła (strojenie zegara) odbywa się poprzez przesunięcie ciężarka lub dokręcenie śruby, której pozycja wpływa na moment bezwładności wahadła. Podstawowe parametry wahadła to:

$\varepsilon =\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$ $-mg l \sin \theta =ml^{2}\cdot \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

Przybliżenie małej amplitudy

Dla małych wychyleń θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania: $\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0$

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem: $\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0$

gdzie $\omega =\frac{2\pi }{T}$ jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

Zegar wahadłowy - zegar mechaniczny wykorzystujący wahadło jako regulator chodu do odmierzania czasu. Do wskazywania czasu w zegarach wahadłowych wykorzystuje się wskaźnik analogowy w postaci tarczy i wskazówek. Zegary te mają obudowy w postaci szafki, najczęściej drewnianej o zróżnicowanych wymiarach. Duże zegary z długim wahadłem ustawiane są na podłodze, mniejsze wieszane na ścianie lub ustawiane na półce (zegar kominkowy). Najczęściej spotykane zegary wahadłowe to zegary bijące (wybijające pełne godziny, półgodziny i kwadranse), kukułkowe (mechanizm bicia jest zastąpiony przez system piszczałek), wygrywające melodie (kuranty) oraz wskazujące czas (chodziki).

Efekt Coriolisa – efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w obracającym się układzie odniesienia, objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się w takim układzie. Zakrzywienie to zdaje się być wywołane jakąś siłą, tak zwaną siłą Coriolisa. Siła Coriolisa jest siłą pozorną, występującą jedynie w nieinercjalnych układach obracających się. Dla zewnętrznego obserwatora siła ta nie istnieje. Dla niego to układ zmienia położenie a poruszające się ciało zachowuje swój stan ruchu zgodnie z I zasadą dynamiki.

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wahania o dużej amplitudzie

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ0 i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór: $\begin{alignat}{2} T & = 2\pi \sqrt{l\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right) \\ & = 2\pi \sqrt{l\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] \end{alignat}$

Zależność okresu drgań wahadła $T$ od kąta wychylenia $\theta$ .

Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

Poznań (, niem. Posen, jidysz פּױזן Pojzn, ros. - Познань) – jedno z najstarszych i największych polskich miast, położone nad rzekami Wartą i Cybiną, na Pojezierzu Wielkopolskim. Stolica Wielkopolski i województwa wielkopolskiego. W obrębie miasta znajduje się duży węzeł drogowy i kolejowy oraz międzynarodowy port lotniczy Ławica. Piąte pod względem liczby ludności miasto w Polsce i szóste pod względem powierzchni.

Wahadło radiestezyjne – jeden z podstawowych przyrządów badawczych radiestety. Wahadło to ma służyć do wykrywania różnego typu źródeł domniemanego promieniowania.

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$ ,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l_0$

Wahadło torsyjne – kątowy odpowiednik liniowego oscylatora harmonicznego. Może być zrealizowany poprzez zawieszenie krążka na nieruchomym pręcie. Skręcenie wahadła o kąt θ powoduje powstanie momentu siły dążącego do przywrócenia krążka do położenia równowagi. Wahadło torsyjne jest odpowiednikiem liniowego oscylatora harmonicznego, gdyż moment siły jest proporcjonalny do wartości kąta w pierwszej potędze zgodnie z formułą:

Oś obrotu - prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyspieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

Wahadło Foucaulta

Osobny artykuł: Wahadło Foucaulta.

Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.

$T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}$

gdzie $\phi$ , to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

Inne

wahadło żyroskopowe

wahadło kolejowe

wahadło radiestezyjne

Zapoznaj się również z: zegar wahadłowy

Źródła

Fizyka Mieczysław Jeżewski, PWN, Warszawa 1966.
”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
“Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.
Mechanika Część I. Monografie Matematyczne 8, Stefan Banach:, Warszawa-Lwów-Wilno, 1938, s. V+234, dostępne pod [1]
Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego [2]