Wartość oczekiwana - Polski Serwis Naukowy

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Zasada nieoznaczoności (zasada nieokreśloności) mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część informacji o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.

Definicja

Zmienna dyskretna

Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.

Jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_1, x_2, \dots, x_n$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_1, p_2, \dots, p_n$ , to wartość oczekiwana $\mathbb EX$ zmiennej losowej $X$ wyraża się wzorem $\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i$ .

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje $\infty$ w miejsce $n\,$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika.

Zmienna ciągła

Jeżeli $X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę $\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$

o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli: $\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty$ .

Właściwości

Jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$ , to jej wartość oczekiwana wynosi $\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx$ .

Jeżeli $Y = \varphi(X)$ jest funkcją mierzalną, to

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:

$\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx$ .

Jeśli istnieją $\mathbb EX$ oraz $\mathbb EY$ , to:

$\mathbb Ec = c$ , gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),

$\forall_{a, b}\; \mathbb E(aX + b) = a\mathbb EX + b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),

jeżeli $X, Y$ są niezależne, to $\mathbb E(XY) = \mathbb EX \mathbb EY$ ,

jeżeli $X \geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb EX \geqslant 0$ ,

$\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|$ .

W mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator $\hat{A}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową $\psi$ wynosi $\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau$ , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Zbiory miary zero – w analizie matematycznej, teorii mnogości, a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary. Czasami stosuje się synonim zbiory zaniedbywalne.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać: $\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ .

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej $\hat{A}$ , czyli wariancja $\hat{A}$ , wynosi $(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$ .

Zobacz też

średnia arytmetyczna

wariancja

przegląd zagadnień z zakresu statystyki

warunkowa wartość oczekiwana

Źródła

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.