Weryfikacja hipotez statystycznych - Polski Serwis Naukowy

Weryfikacja hipotez statystycznych – sprawdzanie sądów o populacji przez badanie jej wycinka (próby statystycznej).

Definicje

Niech $\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby $\mathcal{X}$ , indeksowaną parametrem $\theta\;$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_\theta\;$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X\;$ .

Hipotezą statystyczną $H\;$ jest zdanie postaci $\theta \in \Theta_0$ gdzie $\Theta_0\subset \Theta$ koduje własność rozkładu, którą chcemy testować.

Test statystyczny - formuła matematyczna pozwalająca oszacować prawdopodobieństwo spełnienia pewnej hipotezy statystycznej w populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.
Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

Problem weryfikacji hipotezy statystycznej polega na takim podziale przestrzeni próby $\mathcal{X}$ na rozłączne zbiory $\mathbf{K}$ i $\mathbf{A}$ , żeby prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy $P\{\theta \in \Theta_0\}$ było możliwie małe (w pewnym ustalonym sensie) dla $X\in \mathbf{K}$ i możliwie duże dla $X\in \mathbf{A}$ .

Zwykle wybiera się pewną statystykę $T\;$ i buduje zbiór $\mathbf{K}=\{X\in\mathcal{X} \colon T(X) \in \mathbf{K}_T \}$

gdzie:

Błąd pierwszego rodzaju (błąd pierwszego typu, alfa-błąd, false positive) - w statystyce pojęcie z zakresu weryfikacji hipotez statystycznych - błąd polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, która w rzeczywistości jest prawdziwa. Oszacowanie prawdopodobieństwa popełnienia błędu pierwszego rodzaju oznaczamy symbolem α (mała grecka litera alfa) i nazywamy poziomem istotności testu.
Graniczny poziom istotności (ang. p-value) – w analizie danych prawdopodobieństwo, że uzyskalibyśmy takie jak faktycznie obserwujemy, lub bardziej oddalone od zera wartości pewnej statystyki (np. różnicy średnich), przy założeniu że hipoteza zerowa jest spełniona. Stosowane jako miara prawdopodobieństwa popełnienia błędu pierwszego rodzaju, czyli liczbowe wyrażenie istotności statystycznej.

$\mathbf{K}_T$ jest tzw. obszarem krytycznym testu, wybranym tak, aby $P\{T(X)\in \mathbf{K}_T | H \}\leqslant\alpha$ $\alpha\;$ jest wybranym prawdopodobieństwem, tzw. poziomem istotności testu, zwykle 0,05 lub 0,01.

Jednostronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf{K}_T=\{t\colon t \leqslant t_\alpha\}$ , gdzie $t_\alpha\;$ jest tzw. wartością krytyczną testu. Jest to największa liczba, dla której $P\{T(X) \leqslant t_\alpha | H \}\leqslant\alpha$

Dwustronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf{K}_T=\{t\colon t \leqslant t_{\alpha 1} \vee t \geqslant t_{\alpha 2}\}$ gdzie $t_{\alpha 1}\;$ jest największą liczbą dla której $P\{T(X) \leqslant t_{\alpha 1} | H \}\leqslant\tfrac{\alpha}{2}$ $t_{\alpha 2}\;$ jest najmniejszą liczbą dla której $P\{T(X) \geqslant t_{\alpha 2} | H \}\leqslant\tfrac{\alpha}{2}$

Zdanie w sensie logiki (zdanie logiczne) – wypowiedź, która stwierdza określony stan rzeczy. Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s.
Poziom istotności – jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (zazwyczaj oznaczane symbolem α). Określa tym samym maksymalne ryzyko błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować. Wybór wartości α zależy od badacza, natury problemu i od tego jak dokładnie chce on weryfikować swoje hipotezy, najczęściej przyjmuje się α = 0,05; rzadziej 0,1, 0,03, 0,01 lub 0,001. Wartość założonego poziomu istotności jest porównywana z wyliczoną z testu statystycznego p-wartością (czasem porównuje się od razu wartości statystyki testowej z wartością odpowiadającą danemu poziomowi istotności). Jeśli p-wartość jest większa, oznacza to, iż nie można odrzucić tzw. hipotezy zerowej H0 która zwykle stwierdza, że obserwowany efekt jest dziełem przypadku.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)