Wielościan foremny - Polski Serwis Naukowy

Zobacz hasło bryła platońska w Wikisłowniku

Wielościan foremny (bryła platońska) – wielościan spełniający następujące trzy warunki:

ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,

w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Jowisz – piąta w kolejności oddalenia od Słońca i największa planeta Układu Słonecznego. Posiada wiele księżyców (odkryto 63) oraz system pierścieni. Jowisz wraz z Saturnem, Uranem i Neptunem to planety gazowe, czasem nazywane również planetami jowiszowymi.

Żywioły, elementy, pierwiastki – redukcjonistyczna koncepcja filozoficzna, według której świat materialny (wszechświat) składa się z kilku podstawowych pierwiastków. Różne proporcje w jakich występują one w różnych obiektach i substancjach ma odpowiadać za złożoność świata materialnego, a sposoby, w jaki reagują one ze sobą, mają wyjaśniać przemiany w tym świecie. Teorie elementów były popularne w wielu starożytnych kulturach.

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się o analizę łącznej ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

Dwunastościan foremny (in. dodekaedr) to wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Posiada 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty.

Mars – czwarta według oddalenia od Słońca planeta Układu Słonecznego. Nazwa planety pochodzi od imienia rzymskiego boga wojny – Marsa. Zawdzięcza ją swej barwie, która przy obserwacji wydaje się być rdzawo-czerwona i kojarzyła się starożytnym z pożogą wojenną. Postrzegany odcień wynika stąd, że powierzchnia planety jest pokryta tlenkami żelaza. Mars posiada dwa niewielkie księżyce o nieregularnych kształtach – Fobosa i Deimosa. Prawdopodobnie są to dwie planetoidy przechwycone przez pole grawitacyjne planety. Przypuszcza się, że mogło na niej kiedyś powstać życie, jednak obecnie nie ma na to solidnych dowodów.

$W+S=K+2,\,$

gdzie $W$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, $S$ liczbę jego ścian, a $K$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy $S\cdot n=2K.\,$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi $l$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem $W\cdot l=2K.\,$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności $W$ i $S$

Timajos (ok. 350 p.n.e. - ok. 250 p.n.e.), historyk grecki z Sycylii. Syn Andromachosa, tyrana Tauromenionu (dzisiejszej Taorminy). Od 312 p.n.e. znajdował się na wygnaniu w Atenach. Autor historii Sycylii i Italii (Historia w 38 księgach, zachowana we fragmentach), obejmującej dzieje od czasów najdawniejszych do 264 p.n.e.. W swoim dziele oparł chronologię na latach olimpiad i skompilował listę zwycięzców igrzysk olimpijskich. Autor zachowanych fragmentarycznie O sprawach sycylijskich i O Pyrrusie

Stella octangula - (in. gwiazda ośmioramienna, ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z czworościanów) podstawowy wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny "wydłużony" o ostrosłupy "doczepione" do jego ścian. Jest to w pewnym sensie trójwymiarowy odpowiednik gwiazdy Dawida.

$W = \frac{2K}{l}; S = \frac{2K}{n}\,$

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy $\frac{2K}{l}+\frac{2K}{n}=K+2.$

Przekształcając otrzymamy kolejno $\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{K} > \frac{1}{2},$

oraz $(n-2)(l-2)<4.\,$

Ponieważ $l \geqslant 3$ oraz $n \geqslant 3,$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

Oczywiście znając $n,l$ można wyznaczyć $W,K,S,$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności $S \cdot n = 2K$ oraz $W \cdot l = 2K.$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie $n$ i $l.$

Timajos (gr. Τίμαιος, Timaios) jest jednym z dialogów Platona. W dziele tym dominuje monolog Timajosa na temat natury świata fizycznego i człowieka. Dialog ten datuje się na rok 360 p.n.e. Zaliczany jest do późnego okresu twórczości Platona. Osobami dialogu są: Timajos, Sokrates, Hermokrates oraz Krycjasz.

Wielościan - bryła geometryczna, ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów.

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon pisząc Timajosa nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa (ucznia Platona).

Prawo natury (prawo naturalne; łac. ius naturale) – postulowany przez liczne doktryny filozoficzne, odmienny od prawa pozytywnego porządek prawny. Różne doktryny prawnonaturalne (rzadziej jusnaturalne) prowadziły spory co do źródeł prawa natury, jego istoty, treści i stosunku do prawa stanowionego. Spór prawnonaturalizmu z pozytywizmem prawniczym (nieuznającym istnienia prawa naturalnego) był jednym z ważniejszych tematów filozofii prawa.

Ziemia (łac. Terra) − trzecia licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu.

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

Johannes Kepler (ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt, zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog, jedna z czołowych postaci rewolucji naukowej w XVII wieku. Najbardziej znany jest z nazwanych jego imieniem praw ruchu planet, skodyfikowanych przez późniejszych astronomów na podstawie jego prac Astronomia nova, Harmonices Mundi i Epitome astronomiae Copernicanae. Prawa te stały się jedną z podstaw teorii grawitacji Izaaka Newtona.

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielościan półforemny (albo archimedesowy – od imienia Archimedesa z Syrakuz) – wielościan, którego ściany są wielokątami foremnymi, a w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jednak poszczególne ściany różnią się od siebie.

Platon (gr. Πλάτων, Plátōn, ur. 427 p.n.e. prawdopodobnie w Atenach (według niektórych świadectw na wyspie Eginie), zm. 347 p.n.e. w Atenach) (inne źródła podają, że żył 428-348 p.n.e.) – grecki filozof. Był twórcą systemu filozoficznego zwanego obecnie idealizmem platońskim.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

foremna 5-komórka

foremna 8-komórka (Tesserakt)

foremna 16-komórka

foremna 24-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej $\Bbb R^n$ ).

Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.

Przystawanie – cecha figur geometrycznych intuicyjnie rozumiana jako identyczność kształtu i wielkości. Dwie figury uważa się za przystające, jeśli istnieje izometria całej przestrzeni przekształcająca jedną figurę na drugą. Ponieważ każdą izometrię można rozłożyć na obroty i translacje, i ewentualnie symetrię, więc daje to wygodne kryterium rozpoznawania figur przystających:

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Dla dowolnego naturalnego $n>4$ udowodniono, że w przestrzeni $\Bbb R^n$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne:

Można też rozpatrywać przypadki $n<3.$ "Wielokomórka" w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego $\ell\geq 3$ istnieje $\ell$ -kąt foremny. Z kolei "wielokomórka" w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt - to odcinek i można go traktować jako "foremny".

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

Wenus – druga według oddalenia od . Jest skalnym globem osnutym gęstymi chmurami, które odbijają większość światła słonecznego. Żółtawy kolor chmur atmosfery pochodzi od kwasu siarkowego. Nie ma naturalnego satelity (odkryto jednak planetoidę 2002 VE68 o średnicy około pół kilometra, pozostającą w rezonansie orbitalnym 1:1 z Wenus, z tej racji mogącej być nazywaną quasi-księżycem Wenus). Znak Wenus oznacza płeć kobiety. Jej nazwa wzięła się od rzymskiej bogini miłości, Wenus.

Przypisy

niezbędność tego warunku pokazuje przykład bryły zwanej stella octangula
Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych
Matematyka dla humanistów - Michał Szurek
W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.
Mathematical puzzles and diversions - Martin Gardner