Wielokąt foremny - Polski Serwis Naukowy

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby $0^\circ\$ . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wzór Picka – praktyczny wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe:

Okrąg wpisany w wielokąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku wielokąta. Odcinki łączące środek okręgu wpisanego z punktami styczności na bokach wielokąta są do nich prostopadłe i są promieniami tego okręgu.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że $n\$ -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy $n\$ jest liczbą postaci $2^k p_1 p_2 \ldots p_s,$ gdzie $p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Wielokąt (albo wielobok) – spójny obszar powierzchni dwuwymiarowej, ograniczony przez zamkniętą krzywą złożoną z co najmniej trzech punktów (wierzchołków wielokąta) połączonych odcinkami (bokami wielokąta), przy czym w każdym wierzchołku kończą się dokładnie dwa boki. Punkty boków również należą do wielokąta.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

$n$ - liczba boków wielokąta foremnego;

$a$ - długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego: $\gamma=\pi-\frac{2\pi}{n}\,\! = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka): $\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}$

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

Kąt wewnętrzny wielokąta (kąt wielokąta) - kąt, na którego ramionach leżą dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.

Przekątna (dawniej: przekątnia) to odcinek łączący dowolne dwa wierzchołki wielokąta lub wielościanu, które nie leżą na jednym boku wielokąta (przekątna wielokąta) lub na jednej ścianie wielościanu (przekątna wielościanu).

$R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}\,\!$

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny: $r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}\,\!$

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego: $a=2\sqrt{R^2-r^2}\,\!$

Wzór na obwód wielokąta foremnego: $L=n \cdot a\,$

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego: $S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!$

Wzór na długość przekątnych wielokąta foremnego: $d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},$

gdzie $k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,$

Cyrkiel (łac. circulus - "koło", "okrąg") - przyrząd kreślarski, służący do rysowania okręgów, jak również do odkładania odcinków. Do wyposażenia cyrkli uniwersalnych, używanych do kreślenia rysunków, należały:

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Wielokąty foremne

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Zobacz też

wzór Picka.