Wielomiany Czebyszewa - Polski Serwis Naukowy

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę wielomianów, nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszewa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

Definicja rekurencyjna

$T_0(x)=1 \,$ $T_1(x)=x \,$ $T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)$

Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest : $T_k(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^k + (x-\sqrt{x^2-1})^k}{2}$

Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

$T_k(-x)=(-1)^kT_k(x) \,$

Postać trygonometryczna

Dla $x\in [-1;1]$ podstawiając za $x =\cos\ t$ , dla $k=0,1,2,\cdots$ $T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{\cos^2\ t-1})^k + (\cos\ t-\sqrt{\cos^2-1})^k}{2} =$ $T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t +\sqrt{-\sin^2\ t})^k + (\cos\ t-\sqrt{-\sin^2\ t})^k}{2} =$ $T_k(\cos\ t ) = \frac{(\cos\ t + i\cdot \sin\ t)^k + (\cos\ t- i\cdot \sin\ t)^k}{2}$

gdzie $i^2=-1$ Po zastosowaniu wzoru de Moivre'a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się: $\! T_k(\cos\ t ) = \cos kt$ Wracając do zmiennej $x$ : $\! t = \arccos x$ $\! T_k(x)=\cos(k\cdot \arccos(x))$ (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Wielomiany ortogonalne – wielomiany wzajemnie do siebie ortogonalne w sensie pewnego iloczynu skalarnego. Korzysta się z nich między innymi przy rozwijaniu funkcji w szereg Fouriera i interpolacji wielomianowej. Pojawiają się również w mechanice kwantowej jako funkcje własne kwantowego oscylatora harmonicznego.

$T_k(x) = \begin{cases} \cos(k\arccos x), & \ x \in [-1,1] \\ \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \geqslant 1 \\ (-1)^k \cosh(k \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \leqslant -1 \\ \end{cases}$

Można wykazać, że $\cos(k\cdot t)=\frac{e^{i k \cdot t}+e^{-i k \cdot t}}{2}=\frac{(e^{i \cdot t})^k+(e^{i \cdot t})^{-k}}{2}$

ponieważ zachodzi $\! e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+i \sin(t)$

oraz $\sin(t)=\sqrt{1-\cos(t)^2}$

zachodzi $e^{i \cdot t}=\cos(\cdot t)+ \sqrt{\cos(\cdot t)^2-1}$

a stąd $\cos(k \cdot t)=\frac{(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^k+(\cos(t)+ \sqrt{\cos(t)^2-1})^{-k}}{2}$

podstawiają za $\cos(t)$ x, otrzymuje się $T_k(x)=\frac{(x+ \sqrt{x^2-1})^k+(x+ \sqrt{x^2-1})^{-k}}{2}$

Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa $T_k(x)$ posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem: $x_j=\cos \left(\frac {2\cdot j -1}{2\cdot k}\cdot\pi \right)$ $j=1,2,\cdots , k$

Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni $L_p^2[-1,1]$ z funkcją wagową $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ : $\int\limits_{-1}^1 T_k(x)T_j(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{matrix} 0 &: k\ne j~~~~~\\ \pi &: k=j=0\\ \pi/2 &: k=j\ne 0 \end{matrix} \right.$

Dowód

$\langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{T_k(x) \cdot T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int\limits_{-1} ^{1} \frac{\cos( k \cdot \arccos(x)) \cdot \cos( j \cdot \arccos(x))}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Zastosujmy podstawienie $t = \arccos(x) \,$ . Mamy wówczas $\frac{dt}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ oraz $x = \cos(t) \,$ . Stosując we wcześniejszym wzorze:

Baza (łac. basis z gr. „krok, podstawa” od βάνειν bainein, iść – por. łac. venire; również z późnołac. bassus – gruby, krótki, niski) – pojęcie oznaczające pierwotnie przede wszystkim punkt wyjścia, miejsce początkowe, zaplecze; dziś oznacza przede wszystkim podstawę, podłoże, podwalinę, stąd także główny składnik, tworzywo, a przez to zasadniczą (zwykle dolną) część.

Pafnutij Lwowicz Czebyszew, ros. Пафнутий Львович Чебышёв (ur. 16 maja 1821 w Okatowie – małe miasteczko na zachód od Moskwy – w Rosji, zm. 8 grudnia 1894 w Sankt Petersburgu) – rosyjski matematyk.

$\langle T_k,T_j\rangle = - \int\limits_{ \pi } ^{0} \frac{ \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) }{\sqrt{1-cos^2(t)}} \sqrt{1-cos^2(t)} dt = \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(k \cdot t) \cdot \cos(j \cdot t) dt$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego $\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} [cos (\alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)]$ dostajemy $\langle T_k,T_j\rangle = \int\limits_{0} ^{ \pi } \frac{1}{2} [cos((k-j)t) + \cos((k+j)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k-j)t) dt + \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k+j)t) dt$

Załóżmy w tym momencie, że $k \neq j$ i rozpatrzmy obie całki osobno. $\int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k-j)t) dt = \frac{1}{k-j} \int\limits_{0} ^{(k-j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k-j} [ \sin(t) ] ^{(k-j) \pi} _{0} = 0$

Analogicznie: $\int\limits_{0} ^{ \pi } \cos((k+j)t) dt = \frac{1}{k+j} \int\limits_{0} ^{(k+j) \pi} \cos(t) dt = \frac{1}{k+j} [ \sin(t) ] ^{(k+j) \pi} _{0} = 0$

Zatem: $\langle T_k,T_j\rangle=0$

Widać, że założenie, iż $k \neq j$ jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy $j=k \neq 0$

W algebrze liniowej każdej macierzy kwadratowej można przypisać jej wielomian charakterystyczny. Zawiera on informacje o niektórych własnościach tej macierzy, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku, i śladzie.

$\langle T_k,T_k\rangle = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } [cos((k-k)t) + \cos((k+k)t)] dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0} ^{ \pi } [1 + \cos(2kt)] dt =$ $= \frac{\pi}{2} + \int\limits_{0} ^{\pi} \cos(2kt) dt = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2k} \int\limits_{0} ^{2k \pi} \cos(t) dt = \frac{\pi}{2}$

W przypadku $k = j = 0 \,$ dostajemy $\langle T_0,T_0\rangle = \pi$ co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa

T0 T1, T2 T3 T4 T5

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa: $T_0(x) = 1 \,$ $T_1(x) = x \,$ $T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$ $T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$ $T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$ $T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$ $T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$ $T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$ $T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$ $T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

Własności

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa $\frac{1}{2^{k-1}}T_k(x)$ ma na odcinku [-1;1] najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci: $w_k(x)=x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0$

zachodzi nierówność: $\max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \max_{x\in [-1;1]} |\frac{1}{2^{k-1}}T_k(x)|$

Wiedząc, że dla każdego $x\in [-1;1]$ wielomian $T_k(x)$ przyjmuje wszystkie wartości z $[-1;1]$ , możemy napisać: $\max_{x\in [-1;1]} |w_k(x)| \geqslant \frac{1}{2^{k-1}}$

Zastosowania

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju

Definicja rekurencyjna

$T_0(x)=1 \,$ $T_1(x)=2x \,$ $T_k(x)=2x\cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)$

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: $\rho (x) = \sqrt{1-x^2}$

Zobacz też

formuła trójczłonowa

wielomiany Hermite'a

wielomiany Laguerre'a

wielomiany Legendre'a