Wnętrze - topologia - Polski Serwis Naukowy

Punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Wnętrze jest otwartym podzbiorem F.
Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorow F.
Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
int(int(S)) = int(S).
Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F).
int(S∩F)=int(S)∩int(F)
Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.

Przestrzeń dyskretna – w topologii przykład przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Zauważmy też, że w przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Pozostałe własności

$\operatorname{Int}\; A \cup \operatorname{Int}\; B \subset \operatorname{Int}\; (A \cup B)$ dla dowolnych zbiorów $A \subset X,\ B \subset X$
$\bigcup_{s \in S} \operatorname{Int}\; A_s \subset \operatorname{Int}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)$ dla dowolnej rodziny zbiorów $\{A_s \subset X: s \in S\}$
Dla każdego $A \subset X$ mamy
$\operatorname{Int}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)$

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X.

Przestrzeń – zbiór, w którym określone są rozmaite relacje i działania pomiędzy jego elementami. Synonim pojęcia struktury matematycznej używany dla oddania pewnych intuicji matematycznych oraz w celu skrócenia wypowiedzi.

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.

Przykłady

W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.

W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.

Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:

wnętrzem przedziału domkniętego [a, b] jest przedział otwarty (a, b)

wnętrzem przedziału [a, b) jest przedział (a, b)

wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty

wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty

wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty

zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.

Zobacz też

zewnętrze

brzeg

Przypisy

Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.