Wspólna wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje

W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej $a,$ to każda liczba $b$ postaci $b=na,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej $r$ jako liczby rzeczywiste $s$ postaci $s=kr,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

W teorii podzielności, powiemy że element $b$ pierścienia całkowitego $R$ jest wielokrotnością elementu $a$ tegoż pierścienia, jeśli $b=ca$ dla pewnego $c\in R$ (zobacz Gleichgewicht). W tym kontekście, jeśli $b$ jest wielokrotnością $a$ (w pierścieniu $R$ ) to mówimy też, że $a$ jest dzielnikiem $b .$

W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie $(G,+)$ nazywamy elementy postaci $n\cdot g=g+g+\ldots +g$ (n składników).

Przykłady

W matematyce elementarnej

Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).

Liczby $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi$ . Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $\pi$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $({\mathbb R},+,0)$ .

W teorii pierścieni

125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.

W pierścieniu ${\mathbb C}[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x^2+1$ jest wielokrotnością wielomianu $x+i$ (bowiem $x^2+1=(x+i)(x-i)$ ).

Jeśli pierścień $R$ jest ciałem oraz $a\in R\setminus\{0\}$ , to wszystkie elementy $R$ są wielokrotnościami $a$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

W grupie S3, permutacja $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ jest wielokrotnością $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ bowiem

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w $({\mathbb Z}_{25},+)$ , wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $x$ i $y$ jest to taka liczba $z$ , która jest wielokrotnością liczby $x$ i jest wielokrotnością liczby $y ,$ to znaczy istnieją takie liczby $k , l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx\;$ i $z=ly . \;$

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd. $12 = 4\cdot 3 = 6\cdot 2,$ $24 = 4\cdot 6 = 6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

podwielokrotność

Przypisy

Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 283. ISBN 83-01-03903-5.
Ibid. Strona 30.