Wstęga Möbiusa - Polski Serwis Naukowy

Wstęga Möbiusa zrobiona z paska papieru

Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).

MathWorld - encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

Symbol recyklingu w kształcie wstęgi Möbiusa

Przykład wstęgi Möbiusa to prostokątny pasek papieru, skręcony o 180 stopni, a następnie sklejony końcami. Opisywany jest jako przykład powierzchni jednostronnej. Błędnie uznaje się, że symbol nieskończoności $\infty$ pochodzi od wstęgi Möbiusa; symbol ten był w użyciu od ponad dwustu lat, gdy Möbius i Listing odkryli wstęgę.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Stylizowane przedstawienie wstęgi Möbiusa jest symbolem recyklingu.

Geometria i topologia

Wykres parametryczny

Żeby otrzymać wstęgę Möbiusa należy złączyć krawędzie oznaczone A tak, aby strzałki wskazywały w tym samym kierunku.

Jednym ze sposobów przedstawienia wstęgi Möbiusa jako podzbioru $\mathbb{R}^3$ jest następująca parametryzacja: $x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)$ $y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)$ $z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2}$

gdzie $0\leqslant u < 2\pi$ oraz $-1\leqslant v\leqslant 1$ . W ten sposób tworzy się wstęga Möbiusa o szerokości 1, której środkowe koło leżące na płaszczyźnie x-y ma promień 1 i jest wyśrodkowane w punkcie (0,0,0). Parametr u przebiega dookoła wstęgi a parametr v od jednej krawędzi do drugiej.

Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

Recykling, recyklizacja (ang. recycling) – jedna z kompleksowych metod ochrony środowiska naturalnego. Jej celem jest ograniczenie zużycia surowców naturalnych oraz zmniejszenie ilości odpadów.

W cylindrycznym układzie współrzędnych (r,θ,z) nieograniczona wersja wstęgi Möbiusa może być przedstawiona jako równanie $\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).$

Topologicznie wstęga Möbiusa może być zdefiniowana jako kwadrat [0,1] × [0,1], w którym górna i dolna krawędź są utożsamione przez relację (x,0) ~ (1-x,1) dla 0 ≤ x ≤ 1, jak pokazuje to rysunek po prawej.

Cięcie

Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w połowie szerokości powoduje otrzymanie jednej, węższej wstęgi. Z kolei po przecięciu wzdłuż, w jednej trzeciej szerokości, otrzymamy dwie wstęgi splecione ze sobą.

Zobacz też

W Wikimedia Commons znajdują się multimedia związane z tematem:
Wstęga Möbiusa

butelka Kleina

Linki zewnętrzne

Wstęga Möbiusa (ang.) w encyklopedii MathWorld