Wykres - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Wykres – sposób przedstawiania informacji, równań, formuł, relacji, funkcji i innych obiektów w matematyce i pokrewnych naukach jako podzbiorów pewnych iloczynów kartezjańskich.

Warto zauważyć, że z formalnego punktu widzenia wiele obiektów w matematyce jest identycznych (tożsamych) z ich wykresami (zob. izomorfizm). Często jednak obiekty te mają inne intuicyjne czy też historyczne definicje, wówczas rozważanie ich wykresów ma ważne znaczenie dydaktyczne (jest też krokiem wstępnym do formalizacji tychże pojęć). Sztandarowymi przykładami takich obiektów są wspomniane wcześniej relacje i funkcje.

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.

Wykres równania

Przypuśćmy, że $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest równaniem w liczbach rzeczywistych, którego zmienne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_2$ . Zbiór rozwiązań tego równania, to zbiór wszystkich entek uporządkowanych liczb rzeczywistych $(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n$ które spełniają to równanie (czyli takich, że $R(a_1,\ldots,a_n)=0$ ). Zbiór wszystkich rozwiązań równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest więc podzbiorem produktu kartezjańskiego ${\mathbb R}^n$ . Czasami zbiór ten jest nazywany wykresem równania.

Wykres pudełkowy jest jedną z form graficznej prezentacji rozkładu cechy statystycznej, spotykany najczęściej w pakietach komputerowych wspomagających proces analizy i interpretacji danych statystycznych.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Zatem wykresem równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n:R(a_1,\ldots,a_n)=0\}$ . W przypadku gdy mamy do czynienia tylko z dwiema lub trzema zmiennymi, to wykresy równań mogą reprezentować znajome obiekty geometryczne:

Konchoidy de Sluze dla różnych wartości parametru a

Wykresem równania $6x+7y-13=0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:6x+7y-13=0\}$ ) jest prosta przechodząca m.in. przez punkty $(1,1)$ i $(-6,7)$ ;

wykresem równania $(x-2)^2+(y-3)^2-16=0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:(x-2)^2+(y-3)^2-16=0\}$ ) jest okrąg o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4;

dla niezerowej liczby a, wykresem równania $(x-1)(x^2+y^2)=ax^2$ jest konchoida de Sluze.

Wykres relacji

Przypuśćmy, że ρ jest relacją n-członową na zbiorze X. Wówczas wykresem relacji ρ nazywamy zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in X^n: a_1,\ldots,a_n$ są w relacji $\rho\}$ .

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur - funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury A w uniwersum struktury B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

Należy zauważyć, że formalna definicja relacji jest właśnie taka, że relacja i jej wykres są tym samym.

Niech $\rho$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek: "x jest mniejsze lub równe y", $x\,\rho\,y \iff x\leqslant y$ . Wówczas wykresem relacji $\rho$ jest zbiór $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x\leqslant y\}$ , czyli (w kartezjańskim układzie współrzędnych) domknięta półpłaszczyzna powyżej prostej $y=x$ ;

niech $\rho'$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek $(x-2)^2+(y-3)^2\leqslant 16$ . Wówczas wykresem relacji $\rho'$ w kartezjańskim układzie współrzędnych jest domknięte koło o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4.

Wykres funkcji

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykres formuły

Przedstawione powyżej przykłady wykresów mają wspólne uogólnienie w języku teorii modeli. Przypuśćmy że τ jest alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ . Przypuśćmy też że M jest modelem dla ${\mathcal L}(\tau)$ oraz $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ jest formułą w języku ${\mathcal L}(\tau)$ której zmienne wolne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_n$ . Wykresem formuły $\varphi$ w modelu M nazywamy zbiór

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu empirycznego cechy. Składa się z szeregu prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych. Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe (patrz: Szereg rozdzielczy) wartości cechy, natomiast ich wysokość jest określona przez liczebności (lub częstości, ewentualnie gęstość prawdopodobieństwa) elementów wpadających do określonego przedziału klasowego.

$\{(a_1,\ldots,a_n)\in M^n:{\bold M}\models\varphi[a_1,\ldots,a_n]\}$

gdzie M jest oznacza uniwersum modelu M.

Oczywiście, powyższa procedura może być zastosowana do innych języków (niekoniecznie pierwszego rzędu).

Zobacz też