Wymiar - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Wymiar, w intuicyjnym znaczeniu, to minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.

Wstęp

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń - trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Wymiar przestrzeni liniowej

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^n$ wynosi $n$ ; w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. $p :=(20,30)$ ; w układzie trójwymiarowym - trzy współrzędne, np. $p := (20,30,45).$

Ponieważ przestrzeń $\mathbb{R}^3$ dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) − dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.
Definicja (łac. definitio – określenie) – wypowiedź o określonym kształcie, w której informuje się o znaczeniu danego wyrażenia językowego drogą wskazania innego wyrażenia przynależącego do danego języka i posiadającego to samo znaczenie.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonym zachodzi naturalne utożsamienie: $\mathbb{C}^n = \mathbb{R}^{2\cdot n}$

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym $n$ , ma wymiar rzeczywisty $2 \cdot n$ . Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

Czy wiesz że...? beta

Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Kwadrat – wielokąt foremny (czworokąt), posiadający cztery boki równej długości oraz cztery kąty wewnętrzne o równej wartości wynoszącej 90°. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach równej długości. Jest on również szczególnym przypadkiem rombu, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Można powiedzieć, że kwadrat to prostokąt będący jednocześnie rombem.

Cegła - materiał budowlany w kształcie prostopadłościanu (także klina, wycinka pierścienia kołowego lub kształtki) uformowany z gliny, wapna, piasku, cementu (bloczki betonowe) lub innych surowców mineralnych, który wytrzymałość mechaniczną i odporność na wpływy atmosferyczne uzyskuje poprzez proces suszenia, wypalania lub naparzania parą wodną. Cegły służą m.in. do wznoszenia ścian, murów, filarów, słupów, a także fundamentów i ścian fundamentowych. Cegły mogą też być wypełnieniem stropów (→strop Kleina).

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.