Wymiar pudełkowy - Polski Serwis Naukowy

Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) - uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.

Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. ,,pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.

Potrzebne oznaczenia i definicja

Niech $A$ będzie podzbiorem $n$ - wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla $n=2$ : płaszczyzny). Niech ponadto $A$ będzie zwarty i niepusty.

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Oznaczmy przez $I( \varepsilon )$ iloczyn kartezjański $n$ przedziałów o długości $\varepsilon$ . Zbiór taki nazywamy kostką $n$ -wymiarową. I tak na przykład gdy $n=1$ , $I( \varepsilon)$ jest kostką jednowymiarową, czyli przedziałem o długości $\varepsilon$ . Gdy $n=2,$ $I( \varepsilon)$ jest kwadratem o boku długości $\varepsilon$ (pole tego kwadratu wynosi oczywiście $\varepsilon^2$ ), i tak dalej.

Niech $N( \varepsilon )$ oznacza najmniejszą możliwą liczbę kostek (zwanych także, skąd pochodzi nazwa wymiaru, ,,pudełkami") potrzebnych do pokrycia zbioru $A$ . Zatem $N( \varepsilon )$ jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że

$A \subseteq \bigcup_{i=1}^{N( \varepsilon )}I( \varepsilon ),$

przy czym $N( \varepsilon )$ -krotne dodawanie nie oznacza że sumujemy ze sobą wielokrotnie ten sam zbiór, ale wiele takich samych zbiorów (nie ma tu mowy o ich przestrzennym ułożeniu). I tak na przykład przedział $\lbrack 0,1 \rbrack$ można pokryć minimalnie dwoma kostkami $I(\frac{1}{2}),$ czyli np. $\lbrack 0,1 \rbrack \subseteq \lbrack 0,\frac{1}{2} ) \cup \lbrack \frac{1}{2},1\rbrack$ . Można to zrobić także większą liczbą kostek o takim promieniu, natomiast nie można mniejszą. Stąd gdy $A = \lbrack 0,1\rbrack,$ to $N(\frac{1}{2})=2.$

Wymiarem pudełkowym $d$ zbioru $A$ nazywamy granicę $d=-\lim\limits_{ \varepsilon \to 0} \frac{\log N( \varepsilon )}{\log (1/ \varepsilon )},$

gdzie symbol $N( \varepsilon )$ należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.

Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartośći zbioru $A$ .

Przykład obliczeniowy

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru $A$ jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar $\varepsilon$ a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy $\varepsilon=(\frac{1}{3})^n$ (gdzie $n$ oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy $N(\varepsilon)=2^n.$

Możemy więc napisać $d = \lim \limits_{n\to\infty} \frac{\log 2^n}{\log 3^n}=\frac{\log 2}{\log 3}\approx 0,631.$

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.