Wynikanie - Polski Serwis Naukowy

Implikacja logiczna (wynikanie) – relacja (lub w innym ujęciu symbol relacyjny) pomiędzy teoriami (zbiorami zdań logicznych) $T$ i $B$ jest spełniona, gdy każdy model teorii $T$ jest także modelem teorii $B$ . Często mylona z implikacją materialną, będącą szczególnym przypadkiem zdania.

Bez odwoływania się do teorii modeli można stwierdzić, że implikacja logiczna jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest możliwe, że zdanie $B$ jest fałszywe i jednocześnie wszystkie zdania $T$ są prawdziwe.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Zdanie w sensie logiki (zdanie logiczne) – wypowiedź, która stwierdza określony stan rzeczy. Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s.

Implikacja logiczna jest oznaczana: $T \models B$

Zawsze prawdziwe prawa logiczne (wynikające z pustego zbioru twierdzeń) oznaczane są: $\models B$ .

Jeśli chcemy jakieś prawo logiczne uznać za regułę wnioskowania, to znaczy dołączać nowe zdania w oparciu o już istniejące, możemy zastosować zapis: $\frac{T_1,T_2,\dots}{B}$

oznaczający, że w przypadku, gdy do danej niesprzecznej teorii należą zdania $T_1,T_2,\dots$ , można do niej dołączyć także zdanie $B$ , bez spowodowania sprzeczności.

W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.

Relacja – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.