Wyrażenie algebraiczne - Polski Serwis Naukowy

Wyrażenie algebraiczne – syntaktycznie jest to wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, /, potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej.

W logice matematycznej przez język rozumie się pewien zbiór symboli, przy użyciu których można tworzyć bardziej złożone wyrażenia (na przykład formuły, zdania) według ściśle określonych reguł syntaktycznych. Przyjmuje się, że w danym języku L mogą występować (w dowolnej ilości) symbole funkcyjne, relacyjne oraz symbole stałych. Zdania napisane przy użyciu języków tego typu wystarczają do opisu większości własności dowolnych struktur matematycznych oraz do wyrażenia twierdzeń mówiących o tych strukturach.

Semantyka (semantyka logiczna) – obok syntaktyki i pragmatyki jeden z trzech działów semiotyki logicznej (taki podział semiotyki wprowadził Charles W. Morris), zajmujący się funkcjami semantycznymi, tj. relacjami między znakami (w tym zwłaszcza wyrażeniami) a rzeczywistością, do której znaki te się odnoszą. Tak rozumianą semantykę należy odróżnić od semantyki językoznawczej jako nauki o znaczeniu wyrazów (sam termin "semantyka" upowszechnił zresztą językoznawca, Michel Bréal) i semantyki ogólnej, nurtu filozofii języka; terminem "semantyka" określa się też niekiedy semiotykę logiczną jako całość.

Semantycznie wyrażenie algebraiczne, jako wyrażenie dobrze zbudowane w języku algebry, jest zapisem pewnego algorytmu złożonego z elementarnych działań dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania (pierwiastkowanie sprowadza się do potęgowania).

Najprostsze wyrażenia algebraiczne to pojedyncze stałe (np. 5) oraz zmienne (np. x), bardziej skomplikowane to m.in. jednomiany (np. $3x^2 y^3\;$ ), dwumiany (np. $3x^2y+xy^3\;$ ), wielomiany (np. $2a^3+5a^2-ab+8\;$ ), zapisy typu $\sqrt[x]{y}$ czy

Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.

$\frac{\sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}}}{x-y}$ .

Nie są natomiast wyrażeniami algebraicznymi zapisy złożone z symboli algebraicznych, ale pozbawione sensu, np. $^a+\cdot($ , wyrażenia w których uczestniczą symbole funkcji, np. $\sin x\;$ albo relacji, np. $a=b\;$ . Na ogół zakłada się, że wyrażenia algebraiczne mają skończoną długość, nie jest więc wyrażeniem algebraicznym np. ułamek:

Syntaktyka - jeden z trzech głównych (obok semantyki i pragmatyki) działów semiotyki logicznej. Syntaktyka bada funkcje syntaktyczne - relacje, które zachodzą między wyrażeniami (znakami językowymi) wewnątrz języka i które mają charakter formalny. Podstawowe relacje syntaktyczne to np. wynikanie, reprezentowanie stałych przez zmienne itp.

Informatyka (łac. informatio - "wyobrażenie", "wizerunek", "pomysł", ang. computer science, computing science, information technology, informatics) – dziedzina nauki i techniki zajmująca się przetwarzaniem informacji – w tym technologiami przetwarzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informacje. Pierwotnie część matematyki, została rozwinięta do osobnej dyscypliny nauki, pozostaje jednak nadal w ścisłym związku z matematyką, która dostarcza jej podstaw teoretycznych.

$2+\frac{4}{3+\frac{1\cdot 3}{4+\frac{3\cdot 5}{4+\frac{5\cdot 7}{4+...}}}}$

Niektórzy autorzy wymagają, aby stałe w wyrażeniu algebraicznym były liczbami algebraicznymi.

Jeśli w wyrażeniu algebraicznym nie występuje potęgowanie o niecałkowitym wykładniku (czyli także pierwiastkowanie stopnia innego niż $\tfrac{1}{k}, k\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ ), to jest ono wyrażeniem wymiernym. W przeciwnym wypadku jest wyrażeniem niewymiernym

W informatyce stosowane jest zbliżone (nieco szersze) pojęcie wyrażenia arytmetycznego. Inni zaś uważają, że wyrażenie matematyczne nie zawierające zmiennych to wyrażenie arytmetyczne, a zawierające zmienne to wyrażenie algebraiczne.

Odejmowanie - jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków, jednakże algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

Zobacz też

tożsamość algebraiczna

język (logika)

Przypisy

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 155.
↑ Dictionary of Scientific and Technical Terms: algebraic expression. Wyd. 6. McGraw-Hill.
↑ David L. Heiserman: Pre-algebra Chapter 8 Expressions and Equations. [dostęp 17 czerwca 2009].
Eric W. Weisstein: CRC concise encyclopedia of mathematics. Wyd. 2. CRC Press, 2003, s. 48. ISBN 1584883472, 9781584883470.
Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998, s. 316. ISBN 83-85336-06-0.
Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 323.